Wzor Na Odleglosc Punktu Od Prostej

Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z geometrii analitycznej? Świetnie! Zajmiemy się dziś wzorem na odległość punktu od prostej. To jeden z kluczowych tematów.

Wprowadzenie

Na pewno nieraz zastanawiałeś się, jak zmierzyć najkrótszą odległość od danego punktu do danej prostej. Mamy na to gotowy wzór!

Brzmi skomplikowanie? Spokojnie! Krok po kroku wszystko wyjaśnimy. Bez stresu!

Równanie Prostej

Najpierw przypomnijmy sobie, jak zapisujemy równanie prostej. Najczęściej spotkasz się z postacią ogólną.

Postać ogólna równania prostej to: Ax + By + C = 0.

Gdzie A, B i C to liczby rzeczywiste. A i B nie mogą być jednocześnie zerami!

Pamiętaj! To bardzo ważne, żeby zapamiętać tę postać.

Współrzędne Punktu

Teraz potrzebujemy punktu, od którego będziemy mierzyć odległość. Nazwijmy go P.

Punkt P ma współrzędne (x₀, y₀).

Czyli x₀ to współrzędna iksowa, a y₀ to współrzędna igrekowa punktu P.

Gotowe? To łączymy te informacje w jeden wzór!

Wzór na Odległość

Wzór na odległość punktu P(x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0 wygląda tak:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Gdzie:

• d to odległość.
• | | oznacza wartość bezwzględną.
• √( ) oznacza pierwiastek kwadratowy.

Wartość bezwzględna? To po prostu robimy z liczby zawsze liczbę dodatnią. Jeśli w nawiasie wartości bezwzględnej wyjdzie Ci -5, to wartość bezwzględna z tego to 5.

Jak Używać Wzoru?

Podstawiamy do wzoru! To jest najprostsze. Weźmy konkretny przykład.

Przykład 1

Oblicz odległość punktu P(2, 3) od prostej x + 2y - 5 = 0.

Mamy:

• A = 1
• B = 2
• C = -5
• x₀ = 2
• y₀ = 3

Podstawiamy do wzoru:

d = |1 * 2 + 2 * 3 - 5| / √(1² + 2²)

d = |2 + 6 - 5| / √(1 + 4)

d = |3| / √5

d = 3 / √5

Możemy usunąć niewymierność z mianownika:

d = (3√5) / 5

Czyli odległość punktu P od prostej wynosi (3√5) / 5.

Przykład 2

Oblicz odległość punktu P(-1, 4) od prostej 3x - 4y + 2 = 0.

Mamy:

• A = 3
• B = -4
• C = 2
• x₀ = -1
• y₀ = 4

Podstawiamy do wzoru:

d = |3 * (-1) + (-4) * 4 + 2| / √(3² + (-4)²)

d = |-3 - 16 + 2| / √(9 + 16)

d = |-17| / √25

d = 17 / 5

Czyli odległość punktu P od prostej wynosi 17 / 5.

Kiedy Uważać?

Uważaj na znaki! To bardzo ważne. Zwróć szczególną uwagę na znaki liczb A, B, C, x₀ i y₀.

Sprawdź, czy równanie prostej jest w postaci ogólnej. Jeśli nie, przekształć je!

Pamiętaj o wartości bezwzględnej! Odległość zawsze musi być dodatnia.

Podsumowanie

Wzór na odległość punktu P(x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0 to:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Kluczowe kroki:

1. Zidentyfikuj A, B, C, x₀ i y₀.
2. Podstaw do wzoru.
3. Oblicz wartość bezwzględną i pierwiastek.
4. Uprość wynik.

Pamiętaj o znakach i postaci ogólnej równania prostej!

Powodzenia na egzaminie! Dasz radę!