Zaczynamy przygodę z okręgami! Wyobraź sobie dwa talerze.
Jak mogą leżeć względem siebie?
Położenia Okręgów: Różne Scenariusze
Mamy kilka możliwości. Każda z nich to inna relacja geometryczna.
Okręgi Rozłączne Zewnętrznie
Talerze leżą daleko od siebie. W ogóle się nie dotykają.
Jeden jest daleko od drugiego. Zero kontaktu.
Odległość między ich środkami jest większa niż suma ich promieni.
Myśl o dwóch monetach na stole, bardzo daleko od siebie.
Okręgi Styczne Zewnętrznie
Talerze ledwo się dotykają, tylko w jednym punkcie.
Jakby się całowały. Jeden punkt styku.
Odległość między ich środkami jest równa sumie ich promieni.
Wyobraź sobie dwie bańki mydlane, które właśnie się połączyły.
Okręgi Przecinające się
Talerze nachodzą na siebie. Tworzą obszar wspólny.
Mają dwa punkty przecięcia. Jak znaki "X".
Odległość między ich środkami jest mniejsza niż suma ich promieni, ale większa niż wartość bezwzględna różnicy ich promieni.
Pomyśl o dwóch obręczach gimnastycznych, częściowo nałożonych na siebie.
Okręgi Styczne Wewnętrznie
Jeden talerz jest wewnątrz drugiego. Dotykają się w jednym punkcie.
Mniejszy talerz "przytula się" do większego od środka.
Odległość między ich środkami jest równa wartości bezwzględnej różnicy ich promieni.
Wyobraź sobie doniczkę włożoną do większej doniczki, stykającą się z nią w jednym miejscu.
Okręgi Rozłączne Wewnętrznie
Jeden talerz jest wewnątrz drugiego. Ale się nie dotykają.
Mniejszy talerz pływa wewnątrz większego. Bez kontaktu.
Odległość między ich środkami jest mniejsza niż wartość bezwzględna różnicy ich promieni.
Pomyśl o małej piłce w dużej misce, która nie dotyka ścianek.
Okręgi Współśrodkowe
Talerze mają ten sam środek. Jeden jest wewnątrz drugiego.
Jak cel na tarczy. Jeden środek dla obu.
Odległość między ich środkami jest równa zero.
Wyobraź sobie okrąg narysowany wewnątrz innego okręgu, używając tego samego punktu jako środka.
Jak To Wszystko Zapamiętać?
Użyj obrazków! Narysuj sobie różne sytuacje.
Pomyśl o talerzach, monetach, bańkach mydlanych.
Kluczowa jest odległość między środkami i promienie okręgów.
Oznaczmy:
- r1 - promień pierwszego okręgu
- r2 - promień drugiego okręgu
- d - odległość między środkami okręgów
Wtedy:
- Rozłączne zewnętrznie: d > r1 + r2
- Styczne zewnętrznie: d = r1 + r2
- Przecinające się: |r1 - r2| < d < r1 + r2
- Styczne wewnętrznie: d = |r1 - r2|
- Rozłączne wewnętrznie: d < |r1 - r2|
- Współśrodkowe: d = 0
Zadania Praktyczne
Spójrzmy na kilka przykładów.
Zadanie 1: Okrąg pierwszy ma promień 3, okrąg drugi ma promień 5. Odległość między ich środkami wynosi 10. Jakie jest ich położenie?
Rozwiązanie: r1 = 3, r2 = 5, d = 10. Sprawdzamy: r1 + r2 = 8. Ponieważ d > r1 + r2, okręgi są rozłączne zewnętrznie.
Zadanie 2: Okrąg pierwszy ma promień 4, okrąg drugi ma promień 4. Odległość między ich środkami wynosi 8. Jakie jest ich położenie?
Rozwiązanie: r1 = 4, r2 = 4, d = 8. Sprawdzamy: r1 + r2 = 8. Ponieważ d = r1 + r2, okręgi są styczne zewnętrznie.
Zadanie 3: Okrąg pierwszy ma promień 6, okrąg drugi ma promień 2. Odległość między ich środkami wynosi 4. Jakie jest ich położenie?
Rozwiązanie: r1 = 6, r2 = 2, d = 4. Sprawdzamy: |r1 - r2| = 4. Ponieważ d = |r1 - r2|, okręgi są styczne wewnętrznie.
Ćwicz! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz.
Powodzenia!
