Cześć! Zastanawiałeś/aś się kiedyś, jak obliczyć miejsce, w którym wykres funkcji kwadratowej przecina oś X? To właśnie miejsce zerowe funkcji kwadratowej. Brzmi skomplikowanie? Spokojnie, zaraz wszystko wyjaśnimy!
Zacznijmy od podstaw. Funkcja kwadratowa to taka funkcja, którą można zapisać w postaci f(x) = ax2 + bx + c. Ważne jest, żeby a nie było równe zero. Dlaczego? Bo wtedy mielibyśmy funkcję liniową, a nie kwadratową!
Pomyśl o paraboli. To graficzne przedstawienie funkcji kwadratowej. Wygląda jak uśmiechnięta (lub smutna) litera U. Ramiona paraboli mogą być skierowane w górę (gdy a jest dodatnie) albo w dół (gdy a jest ujemne).
Co to jest Miejsce Zerowe?
Miejsce zerowe funkcji to wartość x, dla której f(x) (czyli y) jest równe zero. Mówiąc prościej, to punkt, w którym parabola przecina oś X. W tym punkcie wysokość wykresu (y) wynosi zero.
Wyobraź sobie, że rzucasz piłką. Tor lotu piłki można opisać funkcją kwadratową. Miejsca zerowe to punkty, w których piłka zaczyna swój lot (w Twojej ręce) i w których upada na ziemię (oś X). Oczywiście, pomijamy tutaj wysokość Twojej ręki i ewentualne zagłębienia w ziemi!
Jak Znaleźć Miejsca Zerowe?
Istnieją różne sposoby na znalezienie miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Najpopularniejszy to użycie delty (Δ). Co to takiego?
Delta to część wzoru, który pozwala nam określić, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa. Obliczamy ją ze wzoru: Δ = b2 - 4ac. Pamiętasz a, b i c z wzoru funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c? To właśnie one!
Wynik delty powie nam, jak wyglądają miejsca zerowe. Mamy trzy możliwości:
- Δ > 0 (delta jest dodatnia): Funkcja ma dwa różne miejsca zerowe. Parabola przecina oś X w dwóch różnych punktach.
- Δ = 0 (delta jest równa zero): Funkcja ma jedno miejsce zerowe (mówimy też, że ma dwa identyczne miejsca zerowe). Parabola dotyka osi X w jednym punkcie.
- Δ < 0 (delta jest ujemna): Funkcja nie ma miejsc zerowych. Parabola nie przecina osi X.
Wzory na Miejsca Zerowe
Jeśli delta jest dodatnia (Δ > 0), to możemy obliczyć miejsca zerowe za pomocą wzorów:
x1 = (-b - √Δ) / 2a
x2 = (-b + √Δ) / 2a
Gdzie √Δ oznacza pierwiastek kwadratowy z delty.
Jeśli delta jest równa zero (Δ = 0), to mamy tylko jedno miejsce zerowe, które obliczamy ze wzoru:
x = -b / 2a
Zauważ, że wzór ten jest uproszczeniem wzorów na x1 i x2, gdy Δ = 0.
Przykłady
Sprawdźmy kilka przykładów, żeby lepiej to zrozumieć.
Przykład 1: Znajdź miejsca zerowe funkcji f(x) = x2 - 5x + 6.
W tym przypadku a = 1, b = -5, c = 6.
Obliczamy deltę: Δ = (-5)2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1. Delta jest dodatnia, więc mamy dwa miejsca zerowe.
Obliczamy miejsca zerowe:
x1 = (5 - √1) / 2 * 1 = (5 - 1) / 2 = 2
x2 = (5 + √1) / 2 * 1 = (5 + 1) / 2 = 3
Miejsca zerowe to x1 = 2 i x2 = 3.
Przykład 2: Znajdź miejsca zerowe funkcji f(x) = x2 - 4x + 4.
W tym przypadku a = 1, b = -4, c = 4.
Obliczamy deltę: Δ = (-4)2 - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0. Delta jest równa zero, więc mamy jedno miejsce zerowe.
Obliczamy miejsce zerowe: x = 4 / 2 * 1 = 2.
Miejsce zerowe to x = 2.
Przykład 3: Znajdź miejsca zerowe funkcji f(x) = x2 + 2x + 5.
W tym przypadku a = 1, b = 2, c = 5.
Obliczamy deltę: Δ = 22 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16. Delta jest ujemna, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.
Podsumowanie
Znalezienie miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest kluczowe w wielu problemach matematycznych i fizycznych. Pamiętaj o delcie i o wzorach na miejsca zerowe. Ćwicz na różnych przykładach, a szybko opanujesz tę umiejętność! Powodzenia!
Miejsce zerowe to wartość x, dla której funkcja przyjmuje wartość zero.
