Wyznacz Wzór Funkcji Liniowej Która Spełnia Podane Warunki

Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z matematyki? Super! Dzisiaj pomożemy Ci zrozumieć, jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej. To naprawdę nie jest takie trudne, jak się wydaje. Zaczynamy?

Co to jest funkcja liniowa?

Funkcja liniowa to taka funkcja, której wykres jest linią prostą. Jej ogólny wzór wygląda tak:

f(x) = ax + b

Gdzie:

a to współczynnik kierunkowy.

b to wyraz wolny.

Współczynnik kierunkowy (a)

Mówi nam, jak bardzo "stroma" jest linia.

Jeśli a > 0, funkcja jest rosnąca.

Jeśli a < 0, funkcja jest malejąca.

Jeśli a = 0, funkcja jest stała (linia pozioma).

Wyraz wolny (b)

Mówi nam, w którym miejscu linia przecina oś OY. Jest to wartość funkcji dla x = 0.

Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej?

Mamy kilka sposobów, żeby to zrobić. Pokażemy Ci najpopularniejsze.

Sposób 1: Dwa punkty

Jeśli znamy dwa punkty, przez które przechodzi prosta, możemy wyznaczyć jej wzór.

Załóżmy, że mamy punkty A(x₁, y₁) i B(x₂, y₂).

1. Obliczamy współczynnik kierunkowy (a):

a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

2. Wybieramy jeden z punktów (np. A) i podstawiamy jego współrzędne oraz obliczone a do wzoru funkcji liniowej:

y₁ = a * x₁ + b

3. Wyliczamy wyraz wolny (b) z powyższego równania.

4. Zapisujemy wzór funkcji: f(x) = ax + b.

Przykład:

Mamy punkty A(1, 3) i B(2, 5).

1. a = (5 - 3) / (2 - 1) = 2 / 1 = 2

2. 3 = 2 * 1 + b

3. b = 3 - 2 = 1

4. f(x) = 2x + 1

Sposób 2: Punkt i współczynnik kierunkowy

Jeśli znamy jeden punkt, przez który przechodzi prosta, i jej współczynnik kierunkowy, to zadanie staje się jeszcze prostsze.

Załóżmy, że mamy punkt A(x₁, y₁) i współczynnik kierunkowy a.

1. Podstawiamy współrzędne punktu A oraz a do wzoru funkcji liniowej:

y₁ = a * x₁ + b

2. Wyliczamy wyraz wolny (b) z powyższego równania.

3. Zapisujemy wzór funkcji: f(x) = ax + b.

Przykład:

Mamy punkt A(3, 7) i a = -1.

1. 7 = -1 * 3 + b

2. b = 7 + 3 = 10

3. f(x) = -x + 10

Sposób 3: Równoległość i prostopadłość

Czasami zadanie jest trochę bardziej skomplikowane i wymaga wykorzystania wiedzy o prostych równoległych i prostopadłych.

Proste równoległe

Dwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy.

f(x) = a₁x + b₁ jest równoległa do g(x) = a₂x + b₂ wtedy i tylko wtedy, gdy a₁ = a₂.

Proste prostopadłe

Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1.

f(x) = a₁x + b₁ jest prostopadła do g(x) = a₂x + b₂ wtedy i tylko wtedy, gdy a₁ * a₂ = -1.

Czyli, jeśli znamy współczynnik kierunkowy jednej prostej, to możemy obliczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej:

a₂ = -1 / a₁

Przykład:

Znajdź wzór prostej równoległej do f(x) = 3x - 2 i przechodzącej przez punkt A(1, 5).

1. Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy, więc a = 3.

2. Podstawiamy współrzędne punktu A i a do wzoru funkcji liniowej:

5 = 3 * 1 + b

3. Wyliczamy b:

b = 5 - 3 = 2

4. Zapisujemy wzór funkcji: g(x) = 3x + 2.

Przykład:

Znajdź wzór prostej prostopadłej do f(x) = 2x + 1 i przechodzącej przez punkt B(4, -1).

1. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to a = -1 / 2.

2. Podstawiamy współrzędne punktu B i a do wzoru funkcji liniowej:

-1 = (-1 / 2) * 4 + b

3. Wyliczamy b:

-1 = -2 + b

b = -1 + 2 = 1

4. Zapisujemy wzór funkcji: g(x) = (-1 / 2)x + 1.

Podsumowanie

Funkcja liniowa ma wzór f(x) = ax + b.

Współczynnik kierunkowy (a) określa nachylenie prostej.

Wyraz wolny (b) określa punkt przecięcia z osią OY.

Możemy wyznaczyć wzór funkcji liniowej znając:

• Dwa punkty.
• Punkt i współczynnik kierunkowy.
• Informacje o równoległości lub prostopadłości do innej prostej.

Pamiętaj o wzorach na proste równoległe i prostopadłe. Są bardzo przydatne!

Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!