Zadaniem jest znalezienie wzoru funkcji kwadratowej f(x). Informacje o funkcji pozwalają go wyznaczyć. Istnieją różne metody, zależnie od tego co wiemy o funkcji.
Postać ogólna funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem: f(x) = ax2 + bx + c. a, b, i c to współczynniki. a musi być różne od zera. Wykres funkcji to parabola.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Funkcję kwadratową można zapisać w postaci kanonicznej: f(x) = a(x - p)2 + q. p i q to współrzędne wierzchołka paraboli. Wierzchołek ma współrzędne W = (p, q).
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Jeśli funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe x1 i x2, można ją zapisać w postaci iloczynowej: f(x) = a(x - x1)(x - x2). x1 i x2 to miejsca zerowe funkcji. Postać ta jest bardzo użyteczna, gdy znamy miejsca zerowe.
Metody wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej
Istnieje kilka sposobów na wyznaczenie wzoru funkcji kwadratowej. Zależą one od dostępnych danych.
Znając wierzchołek i punkt
Mamy wierzchołek W = (p, q) i punkt A = (xA, yA), który należy do wykresu funkcji. Wykorzystujemy postać kanoniczną f(x) = a(x - p)2 + q. Podstawiamy współrzędne wierzchołka. Następnie podstawiamy współrzędne punktu A i wyliczamy a.
Przykład: Wierzchołek to W = (2, 3) i punkt A = (4, 5). Wstawiamy do postaci kanonicznej: f(x) = a(x - 2)2 + 3. Teraz wstawiamy punkt A: 5 = a(4 - 2)2 + 3. Upraszczamy: 5 = 4a + 3, stąd 4a = 2, więc a = 0.5. Wzór funkcji to f(x) = 0.5(x - 2)2 + 3.
Znając trzy punkty
Mamy trzy punkty A = (xA, yA), B = (xB, yB) i C = (xC, yC). Wykorzystujemy postać ogólną f(x) = ax2 + bx + c. Podstawiamy współrzędne każdego punktu. Otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi a, b i c. Rozwiązujemy ten układ równań.
Przykład: Punkty A = (1, 6), B = (-1, 2) i C = (2, 11). Podstawiamy do wzoru ogólnego: 6 = a + b + c, 2 = a - b + c, 11 = 4a + 2b + c. Rozwiązując ten układ równań otrzymamy a = 1, b = 2 i c = 3. Zatem wzór funkcji to f(x) = x2 + 2x + 3.
Znając miejsca zerowe i punkt
Znamy miejsca zerowe x1 i x2 oraz punkt A = (xA, yA), który należy do wykresu funkcji. Wykorzystujemy postać iloczynową: f(x) = a(x - x1)(x - x2). Podstawiamy miejsca zerowe. Następnie podstawiamy współrzędne punktu A i wyliczamy a.
Przykład: Miejsca zerowe to x1 = 1 i x2 = 3, a punkt A = (2, -2). Wstawiamy do postaci iloczynowej: f(x) = a(x - 1)(x - 3). Teraz wstawiamy punkt A: -2 = a(2 - 1)(2 - 3). Upraszczamy: -2 = a(1)(-1), stąd -2 = -a, więc a = 2. Wzór funkcji to f(x) = 2(x - 1)(x - 3).
Znając wierzchołek i miejsce zerowe
Znamy wierzchołek paraboli W=(p,q) i jedno miejsce zerowe, na przykład x1. Wykorzystujemy fakt, że parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, x=p. Dzięki temu drugie miejsce zerowe x2 możemy wyznaczyć ze wzoru p = (x1 + x2)/2. Stąd x2 = 2p - x1. Następnie używamy postaci iloczynowej, aby wyznaczyć wzór funkcji.
Przykład: Wierzchołek W=(1,2) i miejsce zerowe x1 = 3. Zatem p=1. Liczymy drugie miejsce zerowe: x2 = 2*1 - 3 = -1. Mamy miejsca zerowe x1=3 i x2=-1. Postać iloczynowa: f(x) = a(x-3)(x+1). Wstawiamy wierzchołek do postaci iloczynowej. Ponieważ wierzchołek nie jest miejscem zerowym, to f(1) = 2, więc: 2 = a(1-3)(1+1). Stąd 2 = a*(-2)*2, więc 2 = -4a. Otrzymujemy a=-0.5. Zatem wzór funkcji to f(x) = -0.5(x-3)(x+1).
Podsumowanie
Wyznaczenie wzoru funkcji kwadratowej wymaga znajomości odpowiednich danych. Dobór odpowiedniej postaci (ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej) ułatwia rozwiązanie. Kluczowe jest zrozumienie, jakie informacje są niezbędne do każdej z metod.
