Hej! Gotowi na powtórkę z geometrii? Skupimy się na wysokości w trójkącie równoramiennym. To bardzo ważny temat, więc do dzieła!
Co to jest trójkąt równoramienny?
Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma dwa boki równej długości. Te boki nazywamy ramionami. Trzeci bok to podstawa.
Kąty przy podstawie są zawsze równe w trójkącie równoramiennym.
Czym jest wysokość w trójkącie?
Wysokość to odcinek prostej poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia). Inaczej mówiąc, wysokość tworzy kąt prosty z bokiem, na który jest opuszczona.
Każdy trójkąt ma trzy wysokości.
Wysokość w trójkącie równoramiennym - szczególny przypadek
W trójkącie równoramiennym sprawa z wysokościami jest ciekawa! Wysokość opuszczona na podstawę ma pewne specjalne właściwości.
Ta wysokość dzieli podstawę na dwie równe części. Czyli, dzieli podstawę na pół!
Dodatkowo, ta wysokość jest również dwusieczną kąta w wierzchołku, z którego jest poprowadzona. Oznacza to, że dzieli kąt na dwie równe części.
I co najważniejsze, ta wysokość jest również środkową trójkąta. Środkowa to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Jak obliczyć wysokość w trójkącie równoramiennym?
Teraz przejdźmy do konkretów – jak obliczyć długość wysokości opuszczonej na podstawę?
Mamy kilka możliwości. Wszystko zależy od tego, co wiemy o trójkącie.
Metoda 1: Twierdzenie Pitagorasa
To najczęściej stosowana metoda. Wykorzystuje fakt, że wysokość dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne.
Jeśli znamy długość ramienia (a) i długość podstawy (b), to możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:
a2 = h2 + (b/2)2
Gdzie:
- a to długość ramienia
- b to długość podstawy
- h to długość wysokości
Przekształcając wzór, otrzymujemy:
h2 = a2 - (b/2)2
h = √ (a2 - (b/2)2)
Pamiętaj, żeby najpierw obliczyć (b/2)2, a potem odjąć to od a2. Na końcu wyciągamy pierwiastek kwadratowy.
Metoda 2: Znając pole trójkąta
Jeśli znamy pole trójkąta (P) i długość podstawy (b), możemy użyć wzoru na pole trójkąta:
P = (1/2) * b * h
Przekształcając wzór, otrzymujemy:
h = (2 * P) / b
Czyli, mnożymy pole przez 2 i dzielimy przez długość podstawy.
Metoda 3: Trygonometria
Jeśli znamy długość ramienia (a) i kąt przy podstawie (α), możemy użyć funkcji trygonometrycznych.
Wysokość (h) jest przyprostokątną przyległą do kąta (90 - α) w trójkącie prostokątnym, więc:
h = a * sin(α)
Lub, jeśli znamy kąt w wierzchołku (β) i długość ramienia (a):
h = a * cos(β/2)
Przykłady
Przykład 1: Trójkąt równoramienny ma ramię długości 5 cm i podstawę długości 6 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na podstawę.
Używamy twierdzenia Pitagorasa:
h = √ (52 - (6/2)2)
h = √ (25 - 9)
h = √ 16
h = 4 cm
Przykład 2: Pole trójkąta równoramiennego wynosi 24 cm2, a jego podstawa ma długość 8 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na podstawę.
Używamy wzoru na pole trójkąta:
h = (2 * 24) / 8
h = 48 / 8
h = 6 cm
Podsumowanie
- Trójkąt równoramienny ma dwa równe boki (ramiona).
- Wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części.
- Wysokość opuszczona na podstawę jest również dwusieczną kąta i środkową.
- Do obliczenia wysokości możemy użyć: twierdzenia Pitagorasa, wzoru na pole trójkąta, lub funkcji trygonometrycznych.
Pamiętaj, że kluczem jest zrozumienie, co wiesz o trójkącie i wybranie odpowiedniej metody. Powodzenia na egzaminie!
