Cześć! Dzisiaj nauczymy się czegoś super przydatnego w matematyce. To wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. Brzmi groźnie? Spokojnie, zaraz zobaczysz, że to naprawdę proste!
Czym jest czynnik?
Zacznijmy od początku. Czynnik to liczba, którą mnożymy przez inną liczbę. Na przykład, w działaniu 2 * 3 = 6, 2 i 3 to czynniki. 6 to wynik, czyli iloczyn.
Możemy mieć więcej niż dwa czynniki. Na przykład, w działaniu 2 * 3 * 4 = 24, czynniki to 2, 3 i 4. Widzisz? Każda liczba, którą mnożymy, jest czynnikiem.
Wyobraź sobie, że pieczesz ciasto. Masz przepis, który mówi, żeby dodać 2 szklanki mąki i 3 jajka. Mąka i jajka to takie składniki, czyli czynniki sukcesu Twojego ciasta!
Co to znaczy "wspólny czynnik"?
Wspólny czynnik to taki czynnik, który występuje w kilku wyrażeniach. To trochę jak składnik, który używasz w kilku różnych przepisach. Na przykład, masz przepis na ciasto i przepis na babeczki. Oba przepisy wymagają użycia mąki. Mąka to wspólny składnik, prawda?
Spójrzmy na liczby. Weźmy 6 i 9. Jakie liczby dzielą się bez reszty przez 6? To 1, 2, 3 i 6. A jakie liczby dzielą się bez reszty przez 9? To 1, 3 i 9. Zauważ, że liczba 3 występuje w obu listach. To znaczy, że 3 jest wspólnym czynnikiem liczb 6 i 9.
Inny przykład: 12 i 18. Dzielniki 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Dzielniki 18 to: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Wspólne dzielniki to 1, 2, 3 i 6. Największym wspólnym dzielnikiem jest 6.
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias – o co chodzi?
Teraz przejdźmy do sedna. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias to sposób na uproszczenie wyrażeń matematycznych. To tak, jakbyś w swoich przepisach na ciasto i babeczki, zamiast pisać "mąka" w każdym przepisie osobno, napisał(a) to tylko raz, a potem dodał(a) informację, ile mąki potrzeba do każdego przepisu.
Załóżmy, że masz wyrażenie: 6 + 9. Wiemy już, że 3 jest wspólnym czynnikiem dla 6 i 9. Możemy zapisać to wyrażenie inaczej, wyciągając 3 przed nawias:
6 + 9 = 3 * 2 + 3 * 3 = 3 * (2 + 3)
Widzisz, co się stało? Wyciągnęliśmy 3, czyli wspólny czynnik, przed nawias. W nawiasie zostały nam liczby, które po pomnożeniu przez 3 dają odpowiednio 6 i 9.
Kluczowe jest, aby pamiętać o rozdzielności mnożenia względem dodawania. Oznacza to, że: a * (b + c) = a * b + a * c. Wyłączanie wspólnego czynnika to po prostu odwrócenie tej zasady.
Krok po kroku: jak to zrobić?
Oto kroki, które musisz wykonać, żeby wyłączyć wspólny czynnik przed nawias:
Krok 1: Znajdź wspólny czynnik.
Zidentyfikuj, jaki czynnik występuje we wszystkich elementach wyrażenia. To może być liczba, zmienna (litera) albo nawet całe wyrażenie.
Krok 2: Podziel każdy element wyrażenia przez wspólny czynnik.
Podziel każdy składnik wyrażenia przez znaleziony wspólny czynnik. Wyniki tego dzielenia umieść w nawiasie.
Krok 3: Zapisz wspólny czynnik przed nawiasem.
Umieść znaleziony wcześniej wspólny czynnik przed nawiasem. Pamiętaj o znaku mnożenia pomiędzy wspólnym czynnikiem a nawiasem (chociaż często się go pomija).
Przykłady, przykłady, przykłady!
Nic tak nie pomaga w zrozumieniu, jak przykłady. Zobaczmy kilka konkretnych sytuacji:
Przykład 1: 10x + 15y
Jaki jest wspólny czynnik dla 10 i 15? To 5. Zatem:
10x + 15y = 5 * 2x + 5 * 3y = 5 * (2x + 3y)
Przykład 2: 4a² + 8a
Tutaj sprawa jest trochę bardziej skomplikowana, bo mamy zmienną 'a'. Wspólny czynnik dla 4 i 8 to 4. Poza tym 'a' występuje w obu składnikach. W pierwszym składniku mamy a², czyli a*a, a w drugim mamy a. Zatem wspólnym czynnikiem jest 4a:
4a² + 8a = 4a * a + 4a * 2 = 4a * (a + 2)
Przykład 3: 3x²y + 6xy² - 9xy
W tym przykładzie mamy kilka zmiennych i kilka składników. Wspólny czynnik dla 3, 6 i 9 to 3. Poza tym, x występuje w każdym składniku, a najmniejsza potęga x to x¹ (czyli po prostu x). Podobnie, y występuje w każdym składniku, a najmniejsza potęga y to y¹ (czyli y). Zatem wspólnym czynnikiem jest 3xy:
3x²y + 6xy² - 9xy = 3xy * x + 3xy * 2y - 3xy * 3 = 3xy * (x + 2y - 3)
Kiedy to się przydaje?
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias przydaje się w wielu sytuacjach w matematyce. Pomaga upraszczać wyrażenia algebraiczne, rozwiązywać równania, a nawet w obliczeniach w geometrii i fizyce.
Na przykład, jeśli masz do rozwiązania równanie x² + 2x = 0, możesz wyłączyć x przed nawias: x(x + 2) = 0. Wtedy wiesz, że albo x = 0, albo (x + 2) = 0, czyli x = -2. Proste, prawda?
Podsumowując, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias to ważna umiejętność, która ułatwia życie w matematyce. Ćwicz, a szybko zobaczysz, że to naprawdę proste!
