Hej! Dzisiaj zajmiemy się tematem, który na pierwszy rzut oka może wydawać się skomplikowany, ale w rzeczywistości jest całkiem prosty. Chodzi o "wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka". To zagadnienie znajdziesz w zadaniu 6 na stronie 14 w Twoim podręczniku.
Czym jest pierwiastek?
Zacznijmy od podstaw. Pierwiastek, oznaczany symbolem √, to działanie matematyczne. Jest on odwrotnością potęgowania. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z liczby 9, czyli √9, to 3, ponieważ 3 * 3 = 9.
Pomyśl o tym jak o pytaniu: "Jaka liczba pomnożona przez samą siebie da mi tę liczbę pod pierwiastkiem?". W przypadku √9, odpowiedzią jest 3. Mamy również pierwiastki trzeciego stopnia (sześcienne), czwartego stopnia i tak dalej. W pierwiastku sześciennym szukamy liczby, która pomnożona przez siebie trzykrotnie da nam liczbę pod pierwiastkiem.
Liczba pod pierwiastkiem
Liczba, która znajduje się pod znakiem pierwiastka, nazywana jest liczbą podpierwiastkową. To właśnie z niej "wyciągamy" pierwiastek. Naszym celem jest uproszczenie tej liczby, jeśli to możliwe.
Co to znaczy "wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka"?
Wyobraź sobie, że masz pierwiastek kwadratowy z liczby 12, czyli √12. Chcemy uprościć to wyrażenie. "Wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka" oznacza znalezienie takiego rozkładu liczby podpierwiastkowej, żeby jeden z czynników był kwadratem jakiejś liczby całkowitej.
Spójrzmy na 12. Możemy ją rozłożyć na 4 * 3. Zauważ, że 4 jest kwadratem liczby 2 (bo 2 * 2 = 4). Możemy więc zapisać √12 jako √(4 * 3).
Jak to zrobić krok po kroku?
Teraz najważniejsza część! Wykorzystamy własność pierwiastków: √(a * b) = √a * √b. Oznacza to, że pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków.
Zastosujmy to do naszego przykładu: √(4 * 3) = √4 * √3. Wiemy, że √4 = 2, więc otrzymujemy 2 * √3, czyli po prostu 2√3. To jest właśnie "wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka". Zamiast √12, mamy teraz 2√3, co jest prostszą i bardziej elegancką formą.
Przykład 1: √18
Spróbujmy z innym przykładem: √18. Jak rozłożyć 18 tak, żeby jeden z czynników był kwadratem liczby całkowitej? 18 możemy rozłożyć na 9 * 2. Zauważ, że 9 to kwadrat liczby 3 (3 * 3 = 9).
Zatem √18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3√2. Wyłączyliśmy czynnik 3 przed znak pierwiastka.
Przykład 2: √50
Kolejny przykład: √50. 50 możemy rozłożyć na 25 * 2. 25 to kwadrat liczby 5 (5 * 5 = 25).
Stąd √50 = √(25 * 2) = √25 * √2 = 5√2.
Przykład 3: √75
Jeszcze jeden: √75. 75 możemy rozłożyć na 25 * 3. Ponownie, 25 to kwadrat liczby 5.
Więc √75 = √(25 * 3) = √25 * √3 = 5√3.
Kiedy nie da się wyłączyć czynnika?
Nie zawsze da się wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka. Dzieje się tak, gdy liczba podpierwiastkowa nie ma czynnika będącego kwadratem liczby całkowitej. Na przykład, √7 nie da się uprościć, ponieważ 7 jest liczbą pierwszą i jej jedyny dzielnik będący kwadratem liczby całkowitej to 1, a wyłączenie 1 nic nie zmienia.
Dlaczego to robimy?
Upraszczanie pierwiastków, czyli wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka, jest bardzo przydatne. Ułatwia wykonywanie dalszych obliczeń, porównywanie pierwiastków i przedstawianie wyników w najbardziej czytelnej formie. W dalszej matematyce, na przykład w geometrii lub fizyce, często spotkasz się z takimi uproszczeniami.
Wskazówki i triki
Najważniejsze to dobrze znać kwadraty liczb: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100… Im więcej znasz, tym łatwiej znajdziesz odpowiedni rozkład liczby podpierwiastkowej.
Jeśli masz wątpliwości, zawsze możesz spróbować podzielić liczbę podpierwiastkową przez te kwadraty, zaczynając od największego, który jest mniejszy od Twojej liczby. Na przykład, dla √75, spróbuj podzielić 75 przez 49, potem przez 36, potem przez 25. Zauważysz, że 75 dzieli się przez 25.
Podsumowanie
Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka to proces upraszczania wyrażeń z pierwiastkami. Polega na znalezieniu takiego rozkładu liczby podpierwiastkowej, aby jeden z czynników był kwadratem liczby całkowitej. Następnie wyciągamy pierwiastek z tego czynnika i umieszczamy go przed znakiem pierwiastka. Pamiętaj o własności √(a * b) = √a * √b. Ćwicz regularnie, a szybko nabierzesz wprawy! Teraz zadanie 6 na stronie 14 nie powinno sprawić Ci żadnych problemów.
