Rozważmy wyrażenie "wyłącz czynnik przed znak pierwiastka". To ważna umiejętność w algebrze.
Zacznijmy od definicji. Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka polega na uproszczeniu wyrażenia pierwiastkowego. Chcemy przedstawić je w postaci iloczynu liczby i pierwiastka, gdzie liczba pod pierwiastkiem jest najmniejsza, jak to możliwe. Robimy to, znajdując idealne kwadraty (lub sześciany w przypadku pierwiastków trzeciego stopnia, itd.) będące czynnikami liczby pod pierwiastkiem.
Pierwiastek kwadratowy z 12
Skupmy się na przykładzie: √12. Chcemy wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka z 12. Musimy znaleźć największy idealny kwadrat, który dzieli 12.
Pamiętajmy o idealnych kwadratach: 1, 4, 9, 16, 25, 36 i tak dalej. Zauważamy, że 4 dzieli 12 (12 / 4 = 3). Zatem możemy zapisać 12 jako 4 * 3.
Teraz możemy zapisać pierwiastek z 12 jako pierwiastek z (4 * 3): √12 = √(4 * 3). Kluczowa zasada dotyczy pierwiastka iloczynu: √(a * b) = √a * √b. Zatem √(4 * 3) = √4 * √3.
Wiemy, że √4 = 2. Stąd √4 * √3 = 2 * √3. Ostatecznie otrzymujemy: √12 = 2√3. Udało nam się wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka.
Krok po kroku:
1. Znajdź największy idealny kwadrat dzielący liczbę pod pierwiastkiem.
2. Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn tego idealnego kwadratu i pozostałego czynnika.
3. Zastosuj zasadę √(a * b) = √a * √b.
4. Oblicz pierwiastek z idealnego kwadratu.
5. Zapisz wynik w postaci iloczynu liczby i pierwiastka.
Inne przykłady
Rozważmy √18. Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?
Największy idealny kwadrat dzielący 18 to 9 (18 / 9 = 2). Zatem √18 = √(9 * 2).
Stosując zasadę √(a * b) = √a * √b, mamy √(9 * 2) = √9 * √2.
Wiemy, że √9 = 3. Stąd √9 * √2 = 3 * √2. Ostatecznie √18 = 3√2.
Spróbujmy √50. Największy idealny kwadrat dzielący 50 to 25 (50 / 25 = 2). Zatem √50 = √(25 * 2) = √25 * √2 = 5√2.
Pierwiastki wyższych stopni
Proces jest podobny dla pierwiastków wyższych stopni, np. pierwiastka trzeciego stopnia (sześciennego). Wtedy szukamy idealnych sześcianów, które dzielą liczbę pod pierwiastkiem.
Na przykład, ∛24. Idealne sześciany to 1, 8, 27, 64 itd. Zauważamy, że 8 dzieli 24 (24 / 8 = 3). Zatem ∛24 = ∛(8 * 3).
Stosując zasadę ∛(a * b) = ∛a * ∛b, mamy ∛(8 * 3) = ∛8 * ∛3.
Wiemy, że ∛8 = 2. Stąd ∛8 * ∛3 = 2 * ∛3. Ostatecznie ∛24 = 2∛3.
Dlaczego to robimy?
Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka upraszcza wyrażenia. Często ułatwia to dalsze obliczenia. Na przykład, dodawanie lub odejmowanie pierwiastków jest łatwiejsze, gdy liczby pod pierwiastkiem są tak małe, jak to możliwe. Uproszczenie wyrażeń to klucz do sukcesu w matematyce.
Wyobraźmy sobie, że mamy wyrażenie √12 + √27. Nie możemy ich dodać bezpośrednio. Ale jeśli wyłączymy czynnik przed znak pierwiastka, to √12 = 2√3, a √27 = √(9 * 3) = 3√3. Teraz mamy 2√3 + 3√3 = 5√3. Dodawanie stało się proste!
To umiejętność przydatna w geometrii, fizyce i innych dziedzinach. Często pojawia się w zadaniach z trygonometrii i rachunku różniczkowego i całkowego. Im szybciej i sprawniej potrafimy uprościć wyrażenia pierwiastkowe, tym łatwiej poradzimy sobie z bardziej zaawansowanymi problemami.
Praktyka czyni mistrza. Rozwiązujmy wiele zadań, aby opanować tę umiejętność. Z każdym rozwiązanym zadaniem staniemy się lepsi w wyłączaniu czynnika przed znak pierwiastka.
Pamiętajmy o idealnych kwadratach i sześcianach. Nauczmy się je rozpoznawać, a proces upraszczania stanie się szybszy i bardziej intuicyjny. Powodzenia!
