W analizie danych i statystyce, często spotykamy się z sytuacją, gdzie potrzebujemy wyciągnąć losową próbę z większej populacji. Kluczowe pytanie brzmi: ile różnych sposobów istnieje na wyciągnięcie tej próby? Odpowiedź na to pytanie zależy od tego, czy kolejność wyboru elementów ma znaczenie, oraz czy elementy mogą się powtarzać w próbie. Właśnie tutaj pojawiają się wzory kombinatoryczne, które pomagają nam obliczyć liczbę możliwych wyborów. Skupimy się na permutacjach, kombinacjach i wariacjach, zarówno z powtórzeniami, jak i bez.
Permutacje
Permutacje bez powtórzeń
Permutacja to inaczej uporządkowanie elementów. Permutacja bez powtórzeń dotyczy sytuacji, gdy chcemy ustawić w określonej kolejności wszystkie elementy zbioru, przy czym każdy element występuje tylko raz. Załóżmy, że mamy zbiór n różnych elementów. Ile istnieje sposobów na ustawienie ich w szereg?
Pierwszy element możemy wybrać na n sposobów. Następnie, drugi element możemy wybrać już tylko na n-1 sposobów (bo jeden element już wykorzystaliśmy). Trzeci element możemy wybrać na n-2 sposoby i tak dalej. Ostatni element możemy wybrać już tylko na 1 sposób.
Zatem, liczba permutacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wynosi: n * (n-1) * (n-2) * ... * 1. Ten iloczyn nazywamy silnią z n i oznaczamy symbolem n!.
Przykład: Ile różnych słów (mających sens lub nie) można utworzyć, przestawiając litery w słowie "KOT"? Mamy trzy litery (K, O, T), więc n = 3. Liczba permutacji wynosi 3! = 3 * 2 * 1 = 6. Możliwe słowa to: KOT, KTO, OKT, OTK, TKO, TOK.
Permutacje z powtórzeniami
Czasami mamy do czynienia z sytuacją, gdzie w zbiorze występują elementy identyczne. Wtedy mówimy o permutacjach z powtórzeniami. Załóżmy, że mamy n elementów, wśród których n1 elementów jest jednego rodzaju, n2 elementów jest drugiego rodzaju, i tak dalej, aż do nk elementów k-tego rodzaju. Oczywiście, n1 + n2 + ... + nk = n.
Wówczas liczba permutacji z powtórzeniami wynosi:
n! / (n1! * n2! * ... * nk!)
Przykład: Ile różnych słów można utworzyć, przestawiając litery w słowie "ANNA"? Mamy cztery litery (A, N, N, A), więc n = 4. Mamy dwie litery A (n1 = 2) i dwie litery N (n2 = 2). Liczba permutacji z powtórzeniami wynosi 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1 * 2 * 1) = 24 / 4 = 6. Możliwe słowa to: AANN, ANAN, ANNA, NAAN, NANA, NNAA.
Kombinacje
Kombinacje bez powtórzeń
Kombinacja to wybór k elementów ze zbioru n-elementowego, przy czym kolejność wyboru nie ma znaczenia. Kombinacje bez powtórzeń oznaczają, że każdy element możemy wybrać tylko raz.
Liczba kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego (bez powtórzeń) oznaczana jest symbolem C(n, k) lub nCk i obliczana według wzoru:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
Wyrażenie C(n, k) nazywamy również współczynnikiem dwumianowym lub symbolem Newtona.
Przykład: W grupie 5 osób chcemy wybrać 3-osobową delegację. Na ile sposobów możemy to zrobić? Mamy n = 5 i k = 3. Liczba kombinacji wynosi C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (3 * 2 * 1 * 2 * 1) = 120 / 12 = 10. Istnieje 10 różnych sposobów na wybranie delegacji.
Kombinacje z powtórzeniami
W kombinacjach z powtórzeniami możemy wybierać te same elementy więcej niż raz. Nadal kolejność nie ma znaczenia.
Liczba kombinacji k-elementowych z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wynosi:
C(n + k - 1, k) = (n + k - 1)! / (k! * (n - 1)!)
Przykład: W cukierni są 3 rodzaje ciastek: babeczki, eklerki i napoleonki. Chcemy kupić 5 ciastek. Ile różnych zestawów ciastek możemy kupić? Mamy n = 3 (rodzaje ciastek) i k = 5 (liczba kupowanych ciastek). Liczba kombinacji z powtórzeniami wynosi C(3 + 5 - 1, 5) = C(7, 5) = 7! / (5! * 2!) = (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 2 * 1) = 5040 / 240 = 21. Możemy kupić 21 różnych zestawów ciastek.
Wariacje
Wariacje bez powtórzeń
Wariacja to wybór k elementów ze zbioru n-elementowego, przy czym kolejność wyboru ma znaczenie. W wariacjach bez powtórzeń, każdy element możemy wybrać tylko raz.
Liczba wariacji k-elementowych bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego oznaczana jest symbolem V(n, k) lub nVk i obliczana według wzoru:
V(n, k) = n! / (n - k)!
Przykład: W biegu startuje 8 zawodników. Ile jest możliwych wyników (kolejności) dla pierwszych trzech miejsc? Mamy n = 8 i k = 3. Liczba wariacji wynosi V(8, 3) = 8! / (8 - 3)! = 8! / 5! = (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 8 * 7 * 6 = 336. Istnieje 336 różnych możliwych wyników dla pierwszych trzech miejsc.
Wariacje z powtórzeniami
W wariacjach z powtórzeniami, możemy wybierać te same elementy więcej niż raz, a kolejność wyboru ma znaczenie.
Liczba wariacji k-elementowych z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wynosi:
W(n, k) = nk
Przykład: Rzucamy monetą 4 razy. Ile różnych ciągów wyników (orzeł/reszka) możemy otrzymać? Mamy n = 2 (orzeł lub reszka) i k = 4 (liczba rzutów). Liczba wariacji z powtórzeniami wynosi W(2, 4) = 24 = 16. Istnieje 16 różnych możliwych ciągów wyników.
Podsumowując, wybór odpowiedniego wzoru (permutacji, kombinacji lub wariacji) zależy od dwóch kluczowych pytań: czy kolejność wyboru elementów ma znaczenie, oraz czy elementy mogą się powtarzać w próbie. Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla poprawnego stosowania metod statystycznych i kombinatorycznych w różnych dziedzinach.
