Witaj w świecie matematyki ósmej klasy! Pokażę Ci wszystkie wzory w bardzo przystępny sposób.
Wzory Skróconego Mnożenia
To są jak magiczne zaklęcia, które przyspieszają rozwiązywanie zadań.
Kwadrat Sumy: (a + b)²
Wyobraź sobie kwadrat. Jego bok ma długość (a + b). Pole tego kwadratu to właśnie (a + b)².
Możemy podzielić ten kwadrat na mniejsze części. Mamy kwadrat o boku a, kwadrat o boku b i dwa prostokąty o bokach a i b.
Zatem: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Pomyśl o działce. a to długość Twojego ogródka, a b to długość ogródka sąsiada. (a + b)² to powierzchnia obu ogródków razem, jeśli by je połączyć w duży kwadrat. a² to powierzchnia Twojego ogródka, b² to powierzchnia ogródka sąsiada, a 2ab to powierzchnia dwóch identycznych prostokątów, które uzupełniają całość do dużego kwadratu.
Kwadrat Różnicy: (a - b)²
Teraz mamy kwadrat o boku a, z którego wycinamy mniejszy kwadrat o boku b.
Zostaje nam figura w kształcie litery L. Jej pole to (a - b)².
Rozkładamy to: (a - b)² = a² - 2ab + b².
Wyobraź sobie kwadratową pizzę o boku a. Odkroiłeś kawałek (kwadrat) o boku b. a² to powierzchnia całej pizzy, b² to powierzchnia odciętego kawałka, a 2ab reprezentuje dwa prostokąty, które musisz odjąć, ale odejmujesz kwadrat b² dwukrotnie, więc dodajesz go z powrotem raz.
Różnica Kwadratów: a² - b²
Masz kwadrat o polu a² i z niego wycinasz kwadrat o polu b².
Zostaje kształt podobny do ramy. Możemy go przekształcić w prostokąt. Ten prostokąt ma boki (a + b) i (a - b).
Czyli: a² - b² = (a + b)(a - b).
Pomyśl o tabliczce czekolady. a² to cała tabliczka. Zjadłeś kawałek o powierzchni b². Pozostałą część możesz podzielić na prostokątne paski. Ich długość to (a + b), a szerokość to (a - b).
Pierwiastki
Pierwiastek to odwrotność potęgowania. Szukamy liczby, która pomnożona przez samą siebie (lub więcej razy, w zależności od stopnia pierwiastka) da nam daną liczbę.
Pierwiastek Kwadratowy: √a
Szukamy takiej liczby, która pomnożona przez samą siebie da a.
Na przykład: √9 = 3, bo 3 * 3 = 9.
Wyobraź sobie kwadrat o polu a. Pierwiastek kwadratowy z a to długość boku tego kwadratu.
Pierwiastek Sześcienny: ∛a
Szukamy takiej liczby, która pomnożona przez samą siebie TRZY razy da a.
Na przykład: ∛8 = 2, bo 2 * 2 * 2 = 8.
Wyobraź sobie sześcian o objętości a. Pierwiastek sześcienny z a to długość krawędzi tego sześcianu.
Potęgi
Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie.
an
Oznacza to, że mnożymy a przez siebie n razy.
Na przykład: 23 = 2 * 2 * 2 = 8.
Wyobraź sobie bakterię, która dzieli się na dwie co godzinę. Po n godzinach będziesz miał 2n bakterii.
a-n = 1/an
Potęga ujemna to odwrotność potęgi dodatniej.
Na przykład: 2-2 = 1/22 = 1/4.
Wyobraź sobie, że masz ciasto i dzielisz je na 2n części. Każda część to 1/2n ciasta.
a0 = 1
Każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1 (z wyjątkiem 00, które jest nieokreślone).
Pomyśl o pomnożeniu przez 1. Podnoszenie do potęgi 0 to jak nie mnożenie w ogóle.
Procenty
Procent to sposób wyrażania ułamka jako liczby ze 100.
Obliczanie Procentu z Liczby: p% z x
Zamieniamy procent na ułamek i mnożymy przez liczbę.
(p/100) * x.
Jeśli chcesz obliczyć 20% z 50 zł, robisz to tak: (20/100) * 50 = 10 zł.
Pomyśl o torcie. Jeśli masz p procent tortu, to masz p kawałków ze 100. Jeśli tort waży x kg, to Twoja porcja waży (p/100) * x kg.
Obliczanie, Ile Procent Stanowi Jedna Liczba z Drugiej: (x/y) * 100%
Dzielimy jedną liczbę przez drugą i mnożymy przez 100%.
Jeśli masz 30 zł i zarobiłeś 15 zł, to zarobiłeś (15/30) * 100% = 50% tego, co miałeś na początku.
Pomyśl o sprawdzianie. Jeśli miałeś x punktów na y możliwych, to masz (x/y) * 100% sprawdzianu napisanego poprawnie.
Geometria
Twierdzenie Pitagorasa: a² + b² = c²
Dotyczy trójkąta prostokątnego. a i b to długości przyprostokątnych, a c to długość przeciwprostokątnej.
Wyobraź sobie trójkąt prostokątny. Zbuduj kwadrat na każdym boku. Pole kwadratu na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów na przyprostokątnych.
Pole Kwadratu: P = a²
a to długość boku kwadratu.
Pomyśl o kafelku. Jeśli ma bok a, to potrzebujesz a² takich kafelków, żeby pokryć kwadratową podłogę o boku a.
Pole Prostokąta: P = a * b
a i b to długości boków prostokąta.
Pomyśl o dywanie. Jego powierzchnia to długość pomnożona przez szerokość.
Pole Trójkąta: P = (a * h) / 2
a to długość podstawy trójkąta, a h to wysokość opuszczona na tę podstawę.
Wyobraź sobie, że masz prostokąt i przekątną, która dzieli go na dwa identyczne trójkąty. Pole każdego trójkąta to połowa pola prostokąta.
Pamiętaj, praktyka czyni mistrza! Im więcej ćwiczysz, tym lepiej zapamiętasz wzory. Powodzenia!
