Witaj! Zaraz przygotujesz się do egzaminu. Omówimy nierówności, które są spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą. To kluczowy temat, więc skup się.
Co to znaczy, że nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej?
Oznacza to, że niezależnie od tego, jaką liczbę wstawisz do nierówności, zawsze będzie ona prawdziwa.
Zaczniemy od przykładów.
Przykłady nierówności spełnionych przez każdą liczbę rzeczywistą
Spójrz na prosty przykład: x2 ≥ 0.
Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny.
Inny przykład: (x - 1)2 + 1 > 0.
Zauważ, że kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, a dodanie 1 sprawia, że wynik jest zawsze dodatni.
Jak to rozpoznać?
Najważniejsze to doprowadzić nierówność do takiej postaci, aby było to widoczne.
Często używamy wzorów skróconego mnożenia.
Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia są Twoim przyjacielem. Pozwalają uprościć wyrażenia.
Przypomnijmy sobie najważniejsze:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
Zobaczmy, jak to działa na przykładzie.
Sprawdźmy, czy nierówność x2 + 4x + 5 > 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Zastosujmy wzór skróconego mnożenia (do uzupełnienia do pełnego kwadratu):
x2 + 4x + 4 + 1 > 0
Teraz widzimy, że:
(x + 2)2 + 1 > 0
Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, a dodanie 1 sprawia, że całe wyrażenie jest zawsze dodatnie. Zatem nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Nierówności z wartością bezwzględną
Wartość bezwzględna też może pomóc. Pamiętaj, że |x| ≥ 0 dla każdego x.
Przykład: |x| + 1 > 0.
To jest zawsze prawda.
Przykłady i ćwiczenia
Teraz kilka przykładów do samodzielnego rozwiązania.
Zadanie 1: Sprawdź, czy nierówność x2 - 6x + 10 > 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Rozwiązanie: Uzupełniamy do pełnego kwadratu: x2 - 6x + 9 + 1 > 0, czyli (x - 3)2 + 1 > 0. Zatem nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Zadanie 2: Sprawdź, czy nierówność x2 + 2x + 1 ≥ 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Rozwiązanie: (x + 1)2 ≥ 0. Zatem nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Zadanie 3: Sprawdź, czy nierówność -x2 < 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera.
Rozwiązanie: x2 > 0. Zatem nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera (bo dla zera mamy 0 = 0, a nie 0 > 0).
Kiedy nierówność NIE jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej?
Jeśli znajdziesz choć jedną liczbę, która nie spełnia nierówności, to znaczy, że nierówność nie jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Przykład: x > 0.
To nie jest prawda dla liczb ujemnych (np. -1).
Podsumowanie
Pamiętaj o kilku kluczowych rzeczach:
- Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.
- Wartość bezwzględna liczby jest zawsze nieujemna.
- Wzory skróconego mnożenia są Twoim przyjacielem.
- Jeśli znajdziesz jedną liczbę, która nie spełnia nierówności, to nierówność nie jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, żeby spokojnie analizować każdą nierówność. Dasz radę!
