Rozważmy liczby naturalne. Są to liczby, które używamy do liczenia. Zaczynają się od 1: 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej. Nie zawierają ułamków ani liczb ujemnych.
Liczby naturalne to podstawa matematyki. Bez nich trudno byłoby nam liczyć przedmioty, mierzyć odległości czy wykonywać jakiekolwiek obliczenia. Poznanie ich własności jest bardzo ważne.
Dzielniki i Wielokrotności
Zacznijmy od dzielników. Dzielnik liczby naturalnej to taka liczba, która dzieli daną liczbę bez reszty. Na przykład, dzielnikami liczby 6 są: 1, 2, 3 i 6. Sprawdzamy, czy 6 podzielone przez każdy z tych liczb daje liczbę całkowitą, bez reszty.
Inaczej mówiąc, jeśli pomnożymy dzielnik przez jakąś liczbę naturalną i otrzymamy daną liczbę, to ten dzielnik jest poprawny. Zatem, 1 * 6 = 6, 2 * 3 = 6, 3 * 2 = 6, 6 * 1 = 6. Dlatego 1, 2, 3 i 6 są dzielnikami liczby 6.
Z kolei wielokrotność liczby naturalnej to wynik mnożenia tej liczby przez dowolną liczbę naturalną. Na przykład, wielokrotności liczby 3 to: 3, 6, 9, 12, 15 i tak dalej. Otrzymujemy je, mnożąc 3 przez 1, 2, 3, 4, 5, i tak dalej.
Przykłady Dzielników i Wielokrotności
Weźmy liczbę 10. Jej dzielniki to: 1, 2, 5 i 10. Wielokrotności liczby 10 to: 10, 20, 30, 40, 50 i tak dalej. Zauważ, że każda liczba ma przynajmniej dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
Spróbujmy znaleźć dzielniki liczby 12. Są to: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Wielokrotności liczby 12 to: 12, 24, 36, 48, 60 i tak dalej. Dzielniki są zawsze mniejsze lub równe danej liczbie, a wielokrotności są zawsze większe lub równe danej liczbie.
Liczby Pierwsze i Złożone
Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od 1, które mają tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Przykładami liczb pierwszych są: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i tak dalej. Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Liczby złożone to liczby naturalne większe od 1, które mają więcej niż dwa dzielniki. Przykładami liczb złożonych są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 i tak dalej. Każdą liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Na przykład, 12 = 2 * 2 * 3.
Rozkład na Czynniki Pierwsze
Rozkład na czynniki pierwsze polega na przedstawieniu liczby złożonej jako iloczyn liczb pierwszych. Możemy to zrobić, dzieląc liczbę przez najmniejszą liczbę pierwszą, która jest jej dzielnikiem. Następnie dzielimy wynik przez kolejną liczbę pierwszą, aż otrzymamy 1.
Na przykład, rozkładamy liczbę 24 na czynniki pierwsze:
- 24 : 2 = 12
- 12 : 2 = 6
- 6 : 2 = 3
- 3 : 3 = 1
Inny przykład: rozkładamy liczbę 30 na czynniki pierwsze:
- 30 : 2 = 15
- 15 : 3 = 5
- 5 : 5 = 1
Cechy Podzielności
Cechy podzielności to zasady, które pomagają nam szybko sprawdzić, czy dana liczba dzieli się przez inną bez wykonywania dzielenia pisemnego.
Kilka podstawowych cech podzielności:
- Podzielność przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta (0, 2, 4, 6, 8).
- Podzielność przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
- Podzielność przez 5: Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra to 0 lub 5.
- Podzielność przez 10: Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnia cyfra to 0.
Przykłady Użycia Cech Podzielności
Sprawdzamy, czy liczba 126 jest podzielna przez 2. Ostatnia cyfra to 6, która jest parzysta, więc 126 jest podzielna przez 2.
Sprawdzamy, czy liczba 345 jest podzielna przez 3. Suma cyfr to 3 + 4 + 5 = 12. Liczba 12 jest podzielna przez 3, więc 345 jest podzielna przez 3.
Sprawdzamy, czy liczba 670 jest podzielna przez 5. Ostatnia cyfra to 0, więc 670 jest podzielna przez 5. Jest również podzielna przez 10.
Cechy podzielności są bardzo przydatne w upraszczaniu ułamków i rozwiązywaniu różnych zadań matematycznych.
Największy Wspólny Dzielnik (NWD) i Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW)
Największy Wspólny Dzielnik (NWD) dwóch lub więcej liczb to największa liczba, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb. Możemy go znaleźć, wypisując wszystkie dzielniki każdej liczby i wybierając największy wspólny dzielnik.
Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW) dwóch lub więcej liczb to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością każdej z tych liczb. Możemy ją znaleźć, wypisując wielokrotności każdej liczby i wybierając najmniejszą wspólną wielokrotność.
Znajdowanie NWD i NWW
Aby znaleźć NWD(12, 18), wypisujemy dzielniki każdej liczby:
- Dzielniki 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Dzielniki 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Aby znaleźć NWW(4, 6), wypisujemy wielokrotności każdej liczby:
- Wielokrotności 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
- Wielokrotności 6: 6, 12, 18, 24, 30...
Istnieją również algorytmy, takie jak algorytm Euklidesa, które pozwalają na szybsze znajdowanie NWD, szczególnie dla dużych liczb.
