Hej uczniowie klasy 5! Gotowi na sprawdzian z własności liczb naturalnych? Nie martwcie się, pomogę Wam!
Dzielniki i Wielokrotności
Dzielnik to liczba, przez którą możemy podzielić inną liczbę bez reszty.
Np. Dzielniki liczby 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Wielokrotność to liczba, którą otrzymujemy mnożąc daną liczbę przez inne liczby naturalne.
Np. Wielokrotności liczby 3 to: 3, 6, 9, 12, 15...
Żeby znaleźć dzielniki, musimy sprawdzić, czy dana liczba dzieli się bez reszty przez kolejne liczby naturalne, zaczynając od 1.
Żeby znaleźć wielokrotności, mnożymy daną liczbę przez 1, 2, 3, i tak dalej.
Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez...?
Podzielność przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8 (czyli jest parzysta).
Podzielność przez 5: Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra to 0 lub 5.
Podzielność przez 10: Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnia cyfra to 0.
Podzielność przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Np. 123: 1 + 2 + 3 = 6. 6 jest podzielne przez 3, więc 123 też jest podzielne przez 3.
Podzielność przez 9: Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Np. 81: 8 + 1 = 9. 9 jest podzielne przez 9, więc 81 też jest podzielne przez 9.
Liczby Pierwsze i Złożone
Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
Np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.
Np. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15...
Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną.
Rozkład na czynniki pierwsze
Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych. To się nazywa rozkład na czynniki pierwsze.
Np. Rozkład liczby 12 na czynniki pierwsze: 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
Żeby rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, dzielimy ją kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze (2, 3, 5, 7, 11...), aż otrzymamy 1.
NWD i NWW
Największy Wspólny Dzielnik (NWD) dwóch lub więcej liczb to największa liczba, która jest dzielnikiem wszystkich tych liczb.
Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW) dwóch lub więcej liczb to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością wszystkich tych liczb.
Jak znaleźć NWD?
Sposób 1: Wypisujemy wszystkie dzielniki każdej liczby i wybieramy największy, który występuje w obu listach.
Sposób 2: Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze. NWD to iloczyn wspólnych czynników pierwszych, każdy w najmniejszej potędze.
Np. NWD(12, 18):
12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32
NWD(12, 18) = 2 x 3 = 6
Jak znaleźć NWW?
Sposób 1: Wypisujemy kolejne wielokrotności każdej liczby i wybieramy najmniejszą, która występuje w obu listach.
Sposób 2: Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze. NWW to iloczyn wszystkich czynników pierwszych, każdy w największej potędze.
Np. NWW(12, 18):
12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32
NWW(12, 18) = 22 x 32 = 4 x 9 = 36
Przykładowe Zadania
1. Znajdź wszystkie dzielniki liczby 24.
Odpowiedź: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2. Sprawdź, czy liczba 345 jest podzielna przez 3.
Odpowiedź: 3 + 4 + 5 = 12. 12 jest podzielne przez 3, więc 345 też jest podzielne przez 3.
3. Rozłóż liczbę 30 na czynniki pierwsze.
Odpowiedź: 30 = 2 x 3 x 5
4. Znajdź NWD(15, 25).
Odpowiedź: 15 = 3 x 5, 25 = 5 x 5. NWD(15, 25) = 5
5. Znajdź NWW(6, 8).
Odpowiedź: 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x 2 = 23. NWW(6, 8) = 23 x 3 = 8 x 3 = 24
Podsumowanie
Pamiętajcie:
- Dzielniki i wielokrotności.
- Zasady podzielności przez 2, 3, 5, 9 i 10.
- Liczby pierwsze i złożone.
- Rozkład na czynniki pierwsze.
- NWD i NWW – jak je znaleźć.
Powodzenia na sprawdzianie! Pamiętajcie, aby czytać uważnie zadania i dokładnie sprawdzać swoje odpowiedzi. Wierzę w Was!
