Wprowadzanie liczby pod znak pierwiastka to ważna umiejętność w matematyce. Pozwala uprościć wyrażenia i wykonywać działania na pierwiastkach. Obejmuje przekształcenie wyrażenia, w którym liczba znajduje się przed pierwiastkiem, w wyrażenie, gdzie liczba ta znajduje się pod pierwiastkiem.
Definicja i podstawowe zasady
Pierwiastek kwadratowy z liczby *a* oznaczamy jako √*a*. Operacja odwrotna do pierwiastkowania to podnoszenie do kwadratu. Wprowadzanie liczby pod pierwiastek polega na wykorzystaniu tej zależności. Kluczowym elementem jest zrozumienie, że *x*√*y* możemy przekształcić na √( *x*2 * y*).
Zasada działa następująco: jeżeli mamy liczbę *x* pomnożoną przez pierwiastek kwadratowy z *y*, to aby wprowadzić *x* pod pierwiastek, musimy podnieść *x* do kwadratu, a następnie pomnożyć wynik przez *y*. Ostatecznie, wszystko umieszczamy pod jednym znakiem pierwiastka. Należy pamiętać, że ta operacja ma sens tylko dla liczb nieujemnych, jeśli mówimy o pierwiastku kwadratowym.
Przykłady krok po kroku
Rozważmy przykład: 3√2. Chcemy wprowadzić liczbę 3 pod znak pierwiastka. W pierwszym kroku podnosimy 3 do kwadratu: 32 = 9. Następnie mnożymy wynik przez liczbę znajdującą się już pod pierwiastkiem, czyli 2: 9 * 2 = 18. W rezultacie, 3√2 = √18.
Kolejny przykład: 5√3. Postępujemy analogicznie. Podnosimy 5 do kwadratu: 52 = 25. Mnożymy wynik przez 3: 25 * 3 = 75. Zatem, 5√3 = √75.
Przykład z ułamkiem: (1/2)√8. Podnosimy (1/2) do kwadratu: (1/2)2 = 1/4. Następnie mnożymy 1/4 przez 8: (1/4) * 8 = 2. Stąd, (1/2)√8 = √2.
Uogólnienie dla pierwiastków wyższego stopnia
Powyższe zasady możemy rozszerzyć na pierwiastki wyższych stopni. Dla pierwiastka stopnia *n*, zamiast podnosić liczbę do kwadratu, podnosimy ją do potęgi *n*. Ogólny wzór to: *x*n√*y* = n√( *x*n * y*).
Przykład: 23√5. Chcemy wprowadzić 2 pod pierwiastek trzeciego stopnia. Podnosimy 2 do potęgi 3: 23 = 8. Mnożymy wynik przez 5: 8 * 5 = 40. Ostatecznie, 23√5 = 3√40.
Inny przykład: 34√2. Podnosimy 3 do potęgi 4: 34 = 81. Mnożymy wynik przez 2: 81 * 2 = 162. Zatem, 34√2 = 4√162.
Praktyczne zastosowania
Wprowadzanie liczby pod znak pierwiastka znajduje zastosowanie w upraszczaniu wyrażeń algebraicznych. Często, po wprowadzeniu liczb pod pierwiastek, możliwe jest wykonanie dalszych operacji, takich jak dodawanie lub odejmowanie pierwiastków. Pozwala to na zapisanie wyników w prostszej formie.
Rozważmy przykład: 2√3 + √12. Chcemy uprościć to wyrażenie. Zauważmy, że √12 możemy uprościć, wyłączając czynnik przed pierwiastek: √12 = √(4*3) = 2√3. Teraz mamy: 2√3 + 2√3 = 4√3. Alternatywnie, możemy wprowadzić 2 pod pierwiastek w pierwszym składniku: 2√3 = √12. Wtedy mamy √12 + √12 = 2√12 = 2√(4*3) = 2*2√3 = 4√3.
W fizyce i inżynierii, często spotykamy wyrażenia zawierające pierwiastki. Upraszczanie tych wyrażeń jest kluczowe do dalszych obliczeń. Wprowadzanie liczby pod pierwiastek może pomóc w redukcji liczby operacji i uniknięciu błędów.
Przykłady bardziej zaawansowane
Czasami zadanie wymaga więcej niż jednego kroku. Rozważmy wyrażenie (2*a)√*b*, gdzie *a* i *b* są liczbami dodatnimi. Podnosimy (2*a) do kwadratu: (2*a)2 = 4*a2. Mnożymy wynik przez *b*: 4*a2 * *b* = 4*a2*b. Zatem, (2*a)√*b* = √(4*a2*b). To pokazuje, jak operacja może być rozszerzona na wyrażenia algebraiczne.
Kolejny przykład: *(x/y)*√*z*. Podnosimy *(x/y)* do kwadratu: (*x/y*)2 = *x2/y2*. Mnożymy wynik przez *z*: (*x2/y2*) * *z* = (*x2*z)/*y2*. Stąd, *(x/y)*√*z* = √((*x2*z)/*y2*).
Podsumowując, wprowadzanie liczby pod znak pierwiastka jest użyteczną techniką. Pamiętaj o podnoszeniu liczby do odpowiedniej potęgi (zależnej od stopnia pierwiastka) przed umieszczeniem jej pod pierwiastkiem. To pozwoli na upraszczanie wyrażeń i rozwiązywanie zadań matematycznych efektywniej.
