Wartości Funkcji Trygonometrycznych Kątów Ostrych

Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z trygonometrii? Super! Razem damy radę!

Wartości Funkcji Trygonometrycznych Kątów Ostrych – Twój Przewodnik

Skupimy się na kątach ostrych, czyli tych mniejszych od 90 stopni. Gotowy? Startujemy!

Co to są funkcje trygonometryczne?

Funkcje trygonometryczne opisują związek między kątami w trójkącie prostokątnym a długościami jego boków.

Mamy cztery podstawowe funkcje:

• Sinus (sin)
• Cosinus (cos)
• Tangens (tg)
• Cotangens (ctg)

Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym

Wyobraź sobie trójkąt prostokątny ABC, gdzie kąt C jest kątem prostym. Mamy boki: a i b – przyprostokątne oraz c – przeciwprostokątna.

Jeśli mamy kąt ostry α (alfa) przy wierzchołku A, to:

• sin α = bok naprzeciwległy / przeciwprostokątna = a / c
• cos α = bok przyległy / przeciwprostokątna = b / c
• tg α = bok naprzeciwległy / bok przyległy = a / b
• ctg α = bok przyległy / bok naprzeciwległy = b / a

Pamiętaj! "SOH CAH TOA" to pomocna mnemotechnika:

• Sin = Opposite / Hypotenuse
• Cos = Adjacent / Hypotenuse
• Tan = Opposite / Adjacent

Kąty charakterystyczne i ich wartości

Pewne kąty pojawiają się bardzo często. Warto znać wartości funkcji trygonometrycznych dla nich na pamięć.

Kąt 30 stopni (π/6 radianów)

• sin 30° = 1/2
• cos 30° = √3 / 2
• tg 30° = √3 / 3
• ctg 30° = √3

Kąt 45 stopni (π/4 radianów)

• sin 45° = √2 / 2
• cos 45° = √2 / 2
• tg 45° = 1
• ctg 45° = 1

Kąt 60 stopni (π/3 radianów)

• sin 60° = √3 / 2
• cos 60° = 1/2
• tg 60° = √3
• ctg 60° = √3 / 3

Zauważ, że sin 30° = cos 60° i na odwrót. To wynika z własności funkcji trygonometrycznych kątów dopełniających się do 90 stopni.

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

Istnieją pewne podstawowe tożsamości trygonometryczne, które ułatwiają obliczenia:

• sin² α + cos² α = 1 (Tożsamość trygonometryczna "jedynki trygonometrycznej")
• tg α = sin α / cos α
• ctg α = cos α / sin α
• ctg α = 1 / tg α

Znając wartość jednej funkcji trygonometrycznej, możemy obliczyć wartości pozostałych, korzystając z tych wzorów!

Przykłady zadań

Przykład 1: W trójkącie prostokątnym ABC, bok a = 3, c = 5. Oblicz sin α, cos α, tg α, ctg α, gdzie α to kąt leżący naprzeciw boku a.

Najpierw obliczamy bok b (przyległy do kąta α) z twierdzenia Pitagorasa: b² = c² - a² = 5² - 3² = 16, więc b = 4.

Teraz możemy obliczyć funkcje trygonometryczne:

• sin α = a / c = 3 / 5
• cos α = b / c = 4 / 5
• tg α = a / b = 3 / 4
• ctg α = b / a = 4 / 3

Przykład 2: Wiadomo, że sin α = 0.6. Oblicz cos α, tg α, ctg α.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: sin² α + cos² α = 1, więc cos² α = 1 - sin² α = 1 - 0.6² = 1 - 0.36 = 0.64.

Stąd cos α = √0.64 = 0.8 (bierzemy tylko wartość dodatnią, bo α jest kątem ostrym).

Teraz obliczamy tangens i cotangens:

• tg α = sin α / cos α = 0.6 / 0.8 = 3 / 4
• ctg α = 1 / tg α = 4 / 3

Kilka wskazówek na koniec

• Rysuj rysunki! Pomaga to zrozumieć, o co chodzi w zadaniu.
• Ćwicz, ćwicz, ćwicz! Rozwiązuj jak najwięcej zadań.
• Zapamiętaj wartości funkcji dla kątów 30°, 45° i 60°.
• Korzystaj z tożsamości trygonometrycznych, aby uprościć obliczenia.

Podsumowanie

Funkcje trygonometryczne opisują relacje między kątami i bokami w trójkącie prostokątnym.

Znajomość definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa jest kluczowa.

Warto zapamiętać wartości funkcji dla kątów 30°, 45° i 60°.

Korzystaj z tożsamości trygonometrycznych, aby uprościć obliczenia.

Pamiętaj o ćwiczeniach! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz temat.

Dasz radę! Powodzenia na egzaminie!