Zacznijmy od podstaw. Co to jest ostrosłup?
Wyobraź sobie piramidę. To dobry przykład ostrosłupa. Dokładniej, to bryła, która ma podstawę (dowolny wielokąt) i ściany boczne, które są trójkątami. Wszystkie te trójkąty spotykają się w jednym punkcie, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa.
Zastanówmy się teraz nad ostrosłupem prawidłowym.
Słowo "prawidłowy" sugeruje, że coś musi być "idealne". W ostrosłupie prawidłowym, podstawa musi być wielokątem foremnym (czyli takim, który ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe). Dodatkowo, spodek wysokości ostrosłupa (czyli punkt, w którym wysokość opuszczona z wierzchołka przecina podstawę) musi leżeć w środku podstawy.
Czyli co jest wielokątem foremnym? Kwadrat jest przykładem. Trójkąt równoboczny też. Ale już prostokąt nie, bo choć ma równe kąty, to nie wszystkie boki są równe.
Teraz ostrosłup pięciokątny.
Tutaj sprawa jest prosta. Oznacza to, że podstawa ostrosłupa jest pięciokątem. Pięciokąt to figura geometryczna, która ma pięć boków i pięć kątów.
Połączmy te wszystkie informacje. Ostrosłup prawidłowy pięciokątny to ostrosłup, którego podstawa jest pięciokątem foremnym, a spodek wysokości leży w środku tego pięciokąta.
Wyobraź sobie znak STOP. Ma kształt ośmiokąta foremnego. Gdybyśmy zbudowali ostrosłup, którego podstawa byłaby pięciokątem foremnym (trochę jak uproszczona wersja znaku STOP, ale z pięcioma bokami), a ściany boczne byłyby trójkątami zbiegającymi się w jednym punkcie nad środkiem pięciokąta, to mielibyśmy ostrosłup prawidłowy pięciokątny.
Wróćmy do zadania: W ostrosłupie prawidłowym pięciokątnym krawędź podstawy ma długość 2 dm.
Co to jest krawędź podstawy?
To po prostu jeden z boków pięciokąta, który jest podstawą naszego ostrosłupa. Ponieważ jest to ostrosłup *prawidłowy*, wszystkie krawędzie podstawy mają taką samą długość.
A co to jest decymentr (dm)?
Decymentr to jednostka długości. Jeden decymentr to 10 centymetrów. Czyli 2 dm to 20 cm.
Zatem, w naszym ostrosłupie prawidłowym pięciokątnym, każdy bok pięciokąta w podstawie ma długość 2 dm (czyli 20 cm).
Spróbujmy to sobie wyobrazić jeszcze raz. Wyobraź sobie, że rysujesz pięciokąt foremny. Każdy z pięciu boków tego pięciokąta ma długość 20 centymetrów. Następnie, wyobraź sobie, że nad środkiem tego pięciokąta unosi się punkt. Z każdego wierzchołka pięciokąta rysujesz linię do tego punktu. Te linie to krawędzie boczne ostrosłupa. Te linie tworzą trójkąty, które są ścianami bocznymi ostrosłupa. To właśnie jest ostrosłup prawidłowy pięciokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 2 dm.
Co możemy z tym zrobić?
Znając długość krawędzi podstawy, możemy spróbować obliczyć inne parametry ostrosłupa. Na przykład, jeśli znamy wysokość ostrosłupa (odległość od wierzchołka do podstawy), możemy obliczyć objętość ostrosłupa.
Żeby obliczyć objętość, potrzebujemy najpierw obliczyć pole podstawy. Pole pięciokąta foremnego o boku *a* można obliczyć ze wzoru: P = (5a2 / 4) * cot(π/5). W naszym przypadku, a = 2 dm.
Czyli P = (5 * (2 dm)2 / 4) * cot(π/5) = (5 * 4 dm2 / 4) * cot(π/5) = 5 dm2 * cot(π/5).
Wartość cot(π/5) można znaleźć w tablicach matematycznych lub obliczyć za pomocą kalkulatora. Wynosi ona około 1.376.
Zatem, pole podstawy wynosi około 5 dm2 * 1.376 = 6.88 dm2.
Teraz, jeśli znamy wysokość ostrosłupa, oznaczmy ją jako *H*, możemy obliczyć objętość ostrosłupa. Wzór na objętość ostrosłupa to: V = (1/3) * P * H, gdzie P to pole podstawy, a H to wysokość ostrosłupa.
Załóżmy, że wysokość naszego ostrosłupa wynosi 3 dm. Wtedy objętość wynosi: V = (1/3) * 6.88 dm2 * 3 dm = 6.88 dm3.
Pamiętaj, że dm3 (decymentr sześcienny) to jednostka objętości. Jeden decymentr sześcienny to objętość sześcianu o boku 1 dm.
Podsumowując: wiemy, że mamy ostrosłup prawidłowy pięciokątny, którego krawędź podstawy ma długość 2 dm. Wiemy, co to oznacza: podstawa to pięciokąt foremny o boku 2 dm, a wierzchołek ostrosłupa znajduje się nad środkiem tej podstawy. Możemy użyć tej informacji do obliczenia innych parametrów ostrosłupa, takich jak pole podstawy i objętość, jeśli znamy wysokość.
Spróbuj teraz sam. Wyobraź sobie ostrosłup prawidłowy trójkątny (czyli taki, którego podstawa jest trójkątem równobocznym) o krawędzi podstawy 3 cm. Spróbuj obliczyć pole podstawy. Jeśli wysokość ostrosłupa wynosi 5 cm, oblicz jego objętość. To pomoże Ci utrwalić zdobytą wiedzę.
