Witajcie! Przygotujmy się razem do egzaminu z geometrii! Dziś omówimy zadanie: "W okręgu o średnicy 24 cm poprowadzono trzy promienie".
Rozpoczęcie Rozważań o Okręgu
Zacznijmy od podstaw. Mamy okrąg. Średnica tego okręgu wynosi 24 cm.
Co to oznacza? Promień to połowa średnicy. Zatem promień naszego okręgu wynosi 12 cm. Pamiętajmy o tym: r = 12 cm.
Promienie w Okręgu
W zadaniu mamy trzy promienie. Pomyślmy, co możemy z nimi zrobić.
Promienie wychodzą ze środka okręgu. Mogą tworzyć różne kąty.
Wyobraźmy sobie różne sytuacje. Mogą one tworzyć trójkąty. Mogą dzielić okrąg na sektory.
Analiza Możliwych Scenariuszy
Zastanówmy się, jakie pytania mogą paść na egzaminie. Mogą dotyczyć długości łuków.
Mogą dotyczyć pól wycinków kołowych. Mogą też dotyczyć trójkątów, które tworzą promienie.
Długość Łuku
Długość łuku zależy od kąta środkowego. Wzór na długość łuku to: l = (α/360°) * 2πr, gdzie α to kąt środkowy.
Jeśli znamy kąt między dwoma promieniami, możemy obliczyć długość łuku, który te promienie wyznaczają.
Na przykład, jeśli kąt wynosi 60°, to l = (60°/360°) * 2π * 12 = (1/6) * 24π = 4π cm.
Pole Wycinka Kołowego
Pole wycinka kołowego również zależy od kąta środkowego. Wzór to: P = (α/360°) * πr².
Znając kąt, obliczymy pole. Dla kąta 60°: P = (60°/360°) * π * 12² = (1/6) * 144π = 24π cm².
Trójkąty Utworzone przez Promienie
Promienie mogą tworzyć trójkąty. Mogą być to trójkąty równoramienne. Mogą być też równoboczne lub różnoboczne.
Jeśli dwa promienie tworzą kąt 60°, to z cięciwą tworzą trójkąt równoboczny (jeśli cięciwa łączy końce promieni).
Pole takiego trójkąta równobocznego można obliczyć ze wzoru: P = (a²√3)/4, gdzie a to długość boku (w naszym przypadku 12 cm).
Zatem P = (12²√3)/4 = (144√3)/4 = 36√3 cm².
Typowe Zadania Egzaminacyjne
Na egzaminie mogą pojawić się zadania dotyczące sumy długości łuków. Mogą pytać o pole figury utworzonej przez promienie i cięciwę.
Ważne jest, aby umieć obliczyć kąty między promieniami. Czasami trzeba wykorzystać własności trójkątów.
Pamiętaj, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°. Kąty w trójkącie równoramiennym przy podstawie są równe.
Przykładowe Zadanie
Dwa promienie tworzą kąt prosty (90°). Oblicz pole wycinka kołowego i długość łuku.
Pole: P = (90°/360°) * π * 12² = (1/4) * 144π = 36π cm².
Długość łuku: l = (90°/360°) * 2π * 12 = (1/4) * 24π = 6π cm.
Kolejne Zadanie
Trzy promienie dzielą okrąg na trzy równe części. Oblicz pole trójkąta utworzonego przez dwa promienie i cięciwę łączącą ich końce.
Kąt między promieniami wynosi 360°/3 = 120°. Trójkąt jest równoramienny. Potrzebujemy obliczyć długość cięciwy i wysokość trójkąta.
Można zastosować twierdzenie cosinusów do obliczenia długości cięciwy: c² = a² + b² - 2ab cos(γ), gdzie a = b = 12 cm i γ = 120°.
c² = 12² + 12² - 2 * 12 * 12 * cos(120°) = 144 + 144 - 288 * (-0.5) = 288 + 144 = 432.
Zatem c = √432 = 12√3 cm.
Wysokość trójkąta można obliczyć z zależności trygonometrycznych. h = r * sin(60°) = 12 * (√3/2) = 6√3 cm.
Pole trójkąta: P = (1/2) * podstawa * wysokość = (1/2) * 12√3 * 6√3 = 36 * 3 = 108 cm².
Podsumowanie
Podsumowując, ważne jest, aby znać:
- Definicje: średnica, promień, łuk, wycinek kołowy.
- Wzory na: długość łuku, pole wycinka kołowego, pole trójkąta.
- Własności trójkątów: suma kątów, trójkąty równoramienne, równoboczne.
Pamiętaj, aby dokładnie czytać treść zadania. Wykorzystuj dane, które masz. Rysuj schematy, aby lepiej zrozumieć sytuację.
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!
