Hej! Przygotowujesz się do sprawdzianu z geometrii? Świetnie! Pomożemy Ci zrozumieć, jak uzupełniać brakujące długości boków i miary kątów. Dasz radę!
Trójkąty – podstawowe informacje
Zacznijmy od podstaw. Trójkąt to figura geometryczna, która ma trzy boki i trzy kąty. Pamiętaj o tym!
Suma kątów w trójkącie
Suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi zawsze 180 stopni. To bardzo ważne! Jeśli znasz miary dwóch kątów, łatwo obliczysz miarę trzeciego.
Na przykład: jeśli masz trójkąt, w którym jeden kąt ma 60 stopni, a drugi 80 stopni, to trzeci kąt ma 180 - 60 - 80 = 40 stopni.
Rodzaje trójkątów
Ważne jest też, aby znać rodzaje trójkątów:
- Trójkąt równoboczny: Wszystkie boki i kąty są równe (każdy kąt ma 60 stopni).
- Trójkąt równoramienny: Dwa boki są równe (i kąty przy podstawie są równe).
- Trójkąt różnoboczny: Wszystkie boki i kąty mają różne długości i miary.
- Trójkąt prostokątny: Jeden z kątów jest prosty (ma 90 stopni).
Uzupełnianie brakujących miar w trójkątach
Jak to zrobić? Zależy, co wiesz!
Znane dwa kąty
Jak już wspomnieliśmy, jeśli znasz miary dwóch kątów, odejmij ich sumę od 180 stopni. Wynik to miara trzeciego kąta.
Trójkąt równoboczny
Tu jest łatwo! Wszystkie kąty mają po 60 stopni. Jeśli wiesz, że trójkąt jest równoboczny, to znasz wszystkie kąty.
Trójkąt równoramienny
Jeśli znasz miarę kąta między ramionami (wierzchołkowego), odejmij go od 180 stopni, a następnie podziel wynik przez 2. Otrzymasz miarę każdego z kątów przy podstawie.
Na przykład: kąt wierzchołkowy ma 40 stopni. Wtedy kąty przy podstawie mają (180 - 40) / 2 = 70 stopni.
Trójkąt prostokątny
Jeden kąt ma 90 stopni. Jeśli znasz miarę drugiego kąta ostrego, odejmij go od 90 stopni, aby otrzymać miarę trzeciego kąta.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkątów prostokątnych. Mówi ono, że suma kwadratów długości przyprostokątnych (boków przylegających do kąta prostego) jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (boku naprzeciw kąta prostego).
Wzór: a2 + b2 = c2, gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna.
Jeśli znasz długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, możesz obliczyć długość trzeciego boku za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Przykład: a = 3, b = 4. Wtedy c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Zatem c = √25 = 5.
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne (sinus, cosinus, tangens) są bardzo przydatne w trójkątach prostokątnych.
- Sinus (sin): Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej.
- Cosinus (cos): Stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta do długości przeciwprostokątnej.
- Tangens (tan): Stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej przylegającej do kąta.
Pamiętaj o SOH CAH TOA:
- SOH: Sin = Opposite / Hypotenuse (Sinus = Przeciwległa / Przeciwprostokątna)
- CAH: Cos = Adjacent / Hypotenuse (Cosinus = Przyległa / Przeciwprostokątna)
- TOA: Tan = Opposite / Adjacent (Tangens = Przeciwległa / Przyległa)
Jeżeli znasz miarę kąta ostrego i długość jednego z boków w trójkącie prostokątnym, możesz obliczyć długości pozostałych boków, korzystając z funkcji trygonometrycznych.
Przykład: Znasz kąt α = 30 stopni i przeciwprostokątną c = 10. Chcesz obliczyć długość przyprostokątnej a (naprzeciw kąta α). Używasz sinusa: sin(30) = a / 10. Wiesz, że sin(30) = 0.5. Zatem 0.5 = a / 10, więc a = 5.
Podsumowanie
Oto najważniejsze rzeczy, które musisz pamiętać:
- Suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni.
- Znaj rodzaje trójkątów i ich właściwości.
- Pamiętaj o twierdzeniu Pitagorasa: a2 + b2 = c2 (dla trójkątów prostokątnych).
- Naucz się funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens) i pamiętaj o SOH CAH TOA.
Ćwicz regularnie! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz te zagadnienia. Powodzenia na sprawdzianie!
