Zaczynamy przygodę z liczbami! Czas na liczby wymierne. Ale co to właściwie znaczy?
Czym są liczby wymierne?
Wyobraź sobie pizzę. Możesz ją podzielić na kawałki. Te kawałki to ułamki.
Liczby wymierne to takie, które da się zapisać jako ułamek. Mamy licznik (góra) i mianownik (dół).
Mianownik nie może być zerem! Dlaczego? Bo nie da się podzielić niczego na zero części. To bez sensu.
Czyli liczba wymierna = licznik / mianownik. Proste, prawda?
Teraz przejdźmy do konkretnych przykładów. Zobaczymy, jak udowodnić, że dana liczba jest wymierna.
Uzasadnianie, że liczba jest wymierna
Mamy liczbę. Jak pokazać, że jest wymierna? Trzeba ją zapisać jako ułamek.
Liczby całkowite
Weźmy liczbę 5. Czy to liczba wymierna?
Oczywiście! Możemy zapisać 5 jako 5/1.
Każda liczba całkowita (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) jest wymierna. Dlaczego? Zawsze możemy dopisać " / 1".
To tak jakbyśmy mieli 5 całych pizz. Każda pizza jest cała - jeden kawałek.
Ułamki zwykłe
Weźmy ułamek 3/4. Czy to liczba wymierna?
Oczywiście! Już jest zapisana jako ułamek.
Masz pizzę. Podzieliłeś ją na 4 części. Zjadłeś 3 z nich. Zjadłeś 3/4 pizzy.
Ułamki zwykłe to definicja liczb wymiernych.
Ułamki dziesiętne skończone
Weźmy liczbę 0,25. Czy to liczba wymierna?
Tak! Możemy to zamienić na ułamek. 0,25 to 25/100.
Możemy to jeszcze uprościć do 1/4. Widzisz związek z pizzą?
Kropka dziesiętna mówi nam o potęgach dziesięciu. Jedno miejsce po przecinku to dziesiąte, dwa to setne, trzy to tysięczne, i tak dalej.
Czyli 0,1 to 1/10, 0,01 to 1/100, 0,001 to 1/1000.
Dlatego 0,25 = 25/100. Liczba po przecinku staje się licznikiem, a na dole mamy 1 i tyle zer, ile było miejsc po przecinku.
Ułamki dziesiętne okresowe
Weźmy liczbę 0,(3). Co to znaczy? To znaczy 0,33333... Trójka powtarza się w nieskończoność.
Czy to liczba wymierna?
Tak! 0,(3) to 1/3.
Zamiana ułamka dziesiętnego okresowego na ułamek zwykły jest trochę trudniejsza. Trzeba użyć małej sztuczki algebraicznej.
Oznaczmy x = 0,(3). Wtedy 10x = 3,(3).
Odejmujemy od tego x: 10x - x = 3,(3) - 0,(3).
Czyli 9x = 3. Dzielimy przez 9: x = 3/9 = 1/3.
Tadam! Udało się. Każdy ułamek dziesiętny okresowy da się zamienić na ułamek zwykły.
Pierwiastki
A co z pierwiastkami? Na przykład √4?
√4 = 2. A 2 to liczba wymierna (2/1). Zatem √4 jest wymierne.
Ale uwaga! √2 nie jest liczbą wymierną. To liczba niewymierna. Nie da się jej zapisać jako ułamek. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
To tak jakbyśmy chcieli idealnie zmierzyć przekątną kwadratu o boku 1. Nigdy nie znajdziemy dokładnej wartości w postaci ułamka.
Podsumowanie
Aby uzasadnić, że liczba jest wymierna, musimy ją zapisać jako ułamek. Może to wymagać trochę pracy (jak przy ułamkach okresowych), ale zawsze da się to zrobić, jeśli liczba jest wymierna.
Pamiętaj: każda liczba całkowita, ułamek zwykły, ułamek dziesiętny skończony i ułamek dziesiętny okresowy to liczby wymierne.
Sprawdź, czy potrafisz zamienić poniższe liczby na ułamki:
- 7
- 0,5
- 0,(6)
- -2/3
Jeśli dasz radę, to znaczy, że rozumiesz, co to są liczby wymierne!
