Hej Studenci! W tym artykule omówimy temat dilatacji. Jest to część zadania domowego z Unit 9, lekcji o transformacjach. Dilatacje są jednym z typów transformacji geometrycznych. Gotowi? Zaczynamy!
Czym są Transformacje Geometryczne?
Transformacje geometryczne to po prostu sposoby na przesuwanie lub zmienianie kształtu figur. Wyobraźcie sobie, że macie zdjęcie w telefonie. Możecie je przesunąć, obrócić, odbić lustrzanie lub powiększyć/pomniejszyć. To są właśnie transformacje. My skupimy się na jednej konkretnej transformacji - dilatacji. Rozumienie transformacji jest kluczowe. Potem łatwiej będzie zrozumieć geometrię!
Dilatacja - Powiększanie i Pomniejszanie
Dilatacja to transformacja, która zmienia rozmiar figury. Ważne: zachowuje ona jej kształt. Wyobraźcie sobie, że robicie zdjęcie smartfonem i powiększacie je, przybliżając. Albo pomniejszacie, oddalając. To jest właśnie dilatacja! Formalnie, dilatacja to transformacja, w której każdy punkt figury jest oddalany lub przybliżany od pewnego stałego punktu, zwanego środkiem dilatacji.
Kluczowe Pojęcia: Środek Dilatacji i Skala
Są dwa ważne pojęcia związane z dilatacjami. Pierwsze to środek dilatacji. To punkt, względem którego powiększamy lub pomniejszamy figurę. Drugie to skala dilatacji (często oznaczana literą k). To liczba, która określa, ile razy figura zostanie powiększona lub pomniejszona. Jeśli k jest większe od 1, figura się powiększa. Jeśli k jest mniejsze od 1 (ale większe od 0), figura się pomniejsza. Jeśli k jest równe 1, figura pozostaje bez zmian.
Przykłady z Życia Codziennego
Pomyślcie o projektorze. Projektor powiększa obraz z małego slajdu na duży ekran. To jest przykład dilatacji! Inny przykład? Wyobraźcie sobie, że rysujecie plan pokoju. Rysujecie go w skali, czyli zmniejszacie rzeczywisty rozmiar pokoju. To też jest dilatacja! Edycja zdjęć na komputerze lub telefonie też często wykorzystuje dilatacje. Powiększanie i pomniejszanie obrazu to nic innego jak dilatacja.
Jak Działa Dilatacja?
Aby wykonać dilatację, musimy znać środek dilatacji i skalę dilatacji. Załóżmy, że mamy punkt (x, y) i chcemy go poddać dilatacji względem początku układu współrzędnych (0, 0) ze skalą k. Wtedy nowy punkt (x', y') będzie miał współrzędne (kx, ky). Proste, prawda? Po prostu mnożymy każdą współrzędną punktu przez skalę. Na przykład, jeśli mamy punkt (2, 3) i k = 2, to po dilatacji otrzymamy punkt (4, 6).
Dilatacja Względem Dowolnego Punktu
A co jeśli środek dilatacji nie jest w początku układu współrzędnych? Załóżmy, że środek dilatacji to punkt (a, b). Wtedy musimy najpierw przesunąć całą figurę tak, aby środek dilatacji znalazł się w początku układu współrzędnych. Następnie wykonujemy dilatację ze skalą k. Na końcu przesuwamy figurę z powrotem. Brzmi skomplikowanie? Spokojnie, to tylko kilka kroków! Najpierw odejmujemy współrzędne środka dilatacji od każdego punktu figury. Potem mnożymy przez skalę. Na końcu dodajemy współrzędne środka dilatacji z powrotem. Dokładna formuła jest następująca: (x', y') = (k(x - a) + a, k(y - b) + b).
Przykłady Rozwiązywania Zadań
Rozwiążmy kilka przykładów, aby wszystko stało się jasne. Przykład 1: Punkt A ma współrzędne (1, 2). Wykonaj dilatację względem początku układu współrzędnych ze skalą 3. Nowy punkt A' będzie miał współrzędne (3 * 1, 3 * 2) = (3, 6). Przykład 2: Punkt B ma współrzędne (4, -1). Wykonaj dilatację względem początku układu współrzędnych ze skalą 0.5. Nowy punkt B' będzie miał współrzędne (0.5 * 4, 0.5 * -1) = (2, -0.5). Przykład 3: Punkt C ma współrzędne (2, 2). Wykonaj dilatację względem punktu (1, 1) ze skalą 2. Użyjemy wzoru: (x', y') = (k(x - a) + a, k(y - b) + b). (x', y') = (2 * (2 - 1) + 1, 2 * (2 - 1) + 1) = (2 * 1 + 1, 2 * 1 + 1) = (3, 3).
Zadania z Czworokątami i Innymi Figurami
Dilatacje można stosować nie tylko do punktów, ale także do całych figur. Załóżmy, że mamy kwadrat ABCD, gdzie A(1, 1), B(1, 3), C(3, 3), D(3, 1). Wykonaj dilatację względem początku układu współrzędnych ze skalą 2. Wtedy A'(2, 2), B'(2, 6), C'(6, 6), D'(6, 2). Nowy kwadrat A'B'C'D' jest dwa razy większy od kwadratu ABCD. Podobnie możemy postępować z trójkątami, okręgami i innymi figurami. Ważne jest, aby pamiętać o pomnożeniu współrzędnych każdego wierzchołka figury przez skalę.
Pamiętaj o Znaku Skali
Warto wspomnieć, że skala dilatacji może być również ujemna. Jeśli k jest ujemne, to oprócz zmiany rozmiaru figury, następuje również jej odbicie względem środka dilatacji. Wyobraźcie sobie, że rysujecie linię od punktu do środka dilatacji. Następnie przedłużacie tę linię na drugą stronę środka dilatacji, aż odległość od środka dilatacji będzie |k| razy większa niż pierwotna odległość. Na przykład, jeśli mamy punkt (2, 3) i k = -1, to po dilatacji względem początku układu współrzędnych otrzymamy punkt (-2, -3). Jeśli k = -2, otrzymamy punkt (-4, -6).
Podsumowanie
Dilatacja to transformacja geometryczna, która zmienia rozmiar figury. Kluczowe pojęcia to środek dilatacji i skala dilatacji. Jeśli k > 1, figura się powiększa. Jeśli 0 < k < 1, figura się pomniejsza. Jeśli k < 0, figura się powiększa/pomniejsza i odbija względem środka dilatacji. Pamiętajcie o wzorach na obliczanie współrzędnych po dilatacji. Ćwiczcie rozwiązywanie zadań, a na pewno zrozumiecie ten temat! Powodzenia z Unit 9 i zadaniem domowym z dilatacji!
