Witaj! Zajmiemy się teraz zagadnieniami związanymi z Trójkątami Prostokątnymi i Trygonometrią, a dokładniej – kluczem odpowiedzi do zadania domowego nr 5 z tego działu.
Wyobraź sobie trójkąt. Taki, który ma jeden kąt prosty - 90 stopni. To jest właśnie trójkąt prostokątny!
Kąt prosty wygląda jak narożnik kartki papieru.
Boki Trójkąta Prostokątnego
W trójkącie prostokątnym wyróżniamy trzy boki. Mają one swoje nazwy.
Najdłuższy bok, leżący naprzeciwko kąta prostego, to przeciwprostokątna. Pomyśl o niej jak o "królowej" trójkąta. Zawsze najdłuższa i najważniejsza.
Pozostałe dwa boki to przyprostokątne. One tworzą kąt prosty. Można je porównać do "ramion" kąta prostego.
Pomyśl o drabinie opartej o ścianę. Drabina to przeciwprostokątna. Ściana i podłoga to przyprostokątne.
Funkcje Trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne opisują relacje między kątami i bokami trójkąta prostokątnego.
Najpopularniejsze funkcje to sinus (sin), cosinus (cos) i tangens (tan).
Sinus (sin)
Sinus kąta to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Wyobraź sobie, że wspinasz się po drabinie. Sinus to "wysokość", na jakiej jesteś (przyprostokątna naprzeciwko kąta), podzielona przez długość drabiny (przeciwprostokątna).
sin(kąt) = przyprostokątna naprzeciwko / przeciwprostokątna
Cosinus (cos)
Cosinus kąta to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Wróćmy do drabiny. Cosinus to "odległość" od ściany (przyprostokątna przyległa do kąta), podzielona przez długość drabiny (przeciwprostokątna).
cos(kąt) = przyprostokątna przyległa / przeciwprostokątna
Tangens (tan)
Tangens kąta to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przyległej do tego kąta.
Znowu drabina! Tangens to "wysokość" (przyprostokątna naprzeciwko kąta) podzielona przez "odległość" od ściany (przyprostokątna przyległa do kąta).
tan(kąt) = przyprostokątna naprzeciwko / przyprostokątna przyległa
Jak Wykorzystać Funkcje Trygonometryczne?
Funkcje trygonometryczne pozwalają obliczyć długości boków trójkąta lub miary kątów, jeśli znamy pewne dane.
Jeśli znasz kąt i długość przeciwprostokątnej, możesz obliczyć długości przyprostokątnych za pomocą sinusa i cosinusa.
Jeśli znasz długości dwóch boków, możesz obliczyć miarę kąta za pomocą odwrotnych funkcji trygonometrycznych (arcsin, arccos, arctan).
Pomyśl o nawigacji! Możesz obliczyć odległość do celu i kierunek, w którym musisz się poruszać, znając kąty i odległości.
Klucz Odpowiedzi do Zadania Domowego 5
Przejdźmy teraz do klucza odpowiedzi do zadania domowego. Każde zadanie wykorzystuje omówione wcześniej pojęcia.
Zadanie 1: Mając dany kąt 30 stopni i przeciwprostokątną o długości 10, oblicz długość przyprostokątnej naprzeciwko kąta.
Używamy sinusa: sin(30°) = przyprostokątna / 10. Wiemy, że sin(30°) = 0.5, więc przyprostokątna = 0.5 * 10 = 5.
Zadanie 2: Mając dane dwie przyprostokątne o długościach 4 i 3, oblicz długość przeciwprostokątnej.
Używamy twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c². Czyli 4² + 3² = c². 16 + 9 = c². c² = 25. c = 5. Przeciwprostokątna ma długość 5.
Zadanie 3: Mając daną przyprostokątną przyległą o długości 8 i przeciwprostokątną o długości 17, oblicz kąt.
Używamy cosinusa: cos(kąt) = 8 / 17. Kąt = arccos(8/17). Używamy kalkulatora i otrzymujemy kąt w stopniach.
Zadanie 4: Obserwator widzi wierzchołek wieży pod kątem 60 stopni. Odległość od podstawy wieży do obserwatora wynosi 20 metrów. Jaka jest wysokość wieży?
Używamy tangensa: tan(60°) = wysokość / 20. Wiemy, że tan(60°) = √3, więc wysokość = √3 * 20 ≈ 34.64 metry.
Zadanie 5: Trójkąt równoramienny prostokątny ma ramiona długości 7. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Używamy twierdzenia Pitagorasa: 7² + 7² = c². 49 + 49 = c². c² = 98. c = √98 ≈ 9.9.
Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest zrozumienie podstawowych definicji i relacji. Wizualizuj trójkąty, wyobrażaj sobie drabiny i wysokości. Ćwicz regularnie, a trygonometria stanie się Twoim przyjacielem!
Powodzenia w dalszej nauce!
