Zadanie domowe nr 7 z działu Logika i Dowody zazwyczaj skupia się na zastosowaniu poznanych reguł inferencji oraz metod dowodzenia w konkretnych przykładach. Obejmuje tematy takie jak dowody bezpośrednie, dowody nie wprost, dowody przez kontrapozycję oraz zastosowanie kwantyfikatorów.
Podstawowe Pojęcia Logiczne
Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań, warto przypomnieć sobie podstawowe definicje i pojęcia. Zdanie logiczne to wypowiedź, która jest albo prawdziwa (prawda), albo fałszywa (fałsz). Przykład: "2 + 2 = 4" jest zdaniem prawdziwym, a "Ziemia jest płaska" jest zdaniem fałszywym. Ważne jest rozróżnienie między zdaniem logicznym a pytaniem lub poleceniem.
Spójniki logiczne łączą zdania w bardziej złożone wyrażenia. Najważniejsze spójniki to: koniunkcja (i), alternatywa (lub), implikacja (jeśli... to...), równoważność (wtedy i tylko wtedy, gdy) oraz negacja (nie). Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, gdy przynajmniej jedno z nich jest prawdziwe. Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.
Kwantyfikatory pozwalają na formułowanie zdań o zbiorach obiektów. Kwantyfikator ogólny (∀ - dla każdego) oznacza, że dany warunek musi być spełniony przez wszystkie elementy zbioru. Kwantyfikator egzystencjalny (∃ - istnieje) oznacza, że istnieje przynajmniej jeden element zbioru, który spełnia dany warunek. Na przykład, "∀x (x jest człowiekiem → x jest śmiertelny)" oznacza, że każdy człowiek jest śmiertelny, a "∃x (x jest liczbą pierwszą ∧ x jest parzysta)" oznacza, że istnieje liczba pierwsza, która jest parzysta (w tym przypadku 2).
Metody Dowodzenia
Dowód matematyczny to sekwencja logicznych kroków, które prowadzą od założeń do wniosku. Dowód bezpośredni polega na wyprowadzeniu wniosku bezpośrednio z założeń, krok po kroku, używając znanych faktów i reguł inferencji. Przykład: Załóżmy, że n jest liczbą parzystą. Wtedy n = 2k dla pewnej liczby całkowitej k. Wówczas n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2). Ponieważ 2k2 jest liczbą całkowitą, n2 jest liczbą parzystą. Zatem, jeśli n jest parzyste, to n2 jest parzyste.
Dowód nie wprost (przez zaprzeczenie) polega na założeniu, że wniosek jest fałszywy, a następnie wyprowadzeniu sprzeczności z założeń i zaprzeczenia wniosku. Jeśli uda się wyprowadzić sprzeczność, oznacza to, że początkowe założenie (zaprzeczenie wniosku) było błędne, a zatem wniosek musi być prawdziwy. Przykład: Udowodnij, że jeśli n2 jest parzyste, to n jest parzyste. Załóżmy, że n2 jest parzyste, a n jest nieparzyste. Wtedy n = 2k + 1 dla pewnej liczby całkowitej k. Wówczas n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. Zatem n2 jest liczbą nieparzystą, co jest sprzeczne z założeniem, że n2 jest parzyste. Stąd n musi być parzyste.
Dowód przez kontrapozycję polega na udowodnieniu, że jeśli nie zachodzi wniosek, to nie zachodzi założenie. Jest to równoważne udowodnieniu implikacji pierwotnej. Czyli, dowodzimy implikacji ~Q → ~P zamiast P → Q. Przykład: Udowodnij, że jeśli n2 jest parzyste, to n jest parzyste. Zamiast tego, udowodnimy, że jeśli n jest nieparzyste, to n2 jest nieparzyste. Załóżmy, że n jest nieparzyste. Wtedy n = 2k + 1 dla pewnej liczby całkowitej k. Wówczas n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. Zatem n2 jest liczbą nieparzystą. Zatem, jeśli n jest nieparzyste, to n2 jest nieparzyste, co dowodzi przez kontrapozycję, że jeśli n2 jest parzyste, to n jest parzyste.
Przykładowe Zadania i Rozwiązania
Rozważmy następujące zadanie: Udowodnij, że suma dwóch liczb parzystych jest parzysta. Niech a i b będą liczbami parzystymi. Wtedy a = 2k i b = 2l dla pewnych liczb całkowitych k i l. Wówczas a + b = 2k + 2l = 2(k + l). Ponieważ k + l jest liczbą całkowitą, a + b jest parzysta. Zatem suma dwóch liczb parzystych jest parzysta.
Kolejny przykład: Udowodnij, że jeśli a + b ≥ 2, to a ≥ 1 lub b ≥ 1. Możemy udowodnić to przez kontrapozycję. Zamiast tego, udowodnimy, że jeśli a < 1 i b < 1, to a + b < 2. Jeśli a < 1 i b < 1, to a + b < 1 + 1 = 2. Zatem, jeśli a < 1 i b < 1, to a + b < 2, co dowodzi przez kontrapozycję, że jeśli a + b ≥ 2, to a ≥ 1 lub b ≥ 1.
Rozwiązując zadania z logiki i dowodów, kluczowe jest zrozumienie definicji i reguł inferencji. Staraj się jasno formułować założenia i kroki dowodu. Zawsze sprawdzaj, czy każdy krok jest logicznie uzasadniony. Regularne ćwiczenia pomogą Ci w opanowaniu tych umiejętności. Pamiętaj o różnicach między dowodem bezpośrednim, nie wprost i przez kontrapozycję.
Powodzenia w rozwiązywaniu zadania domowego!
