Zacznijmy od początku. Czym właściwie są ułamki zwykłe? To liczby, które reprezentują część jakiejś całości. Składają się z dwóch elementów: licznika (liczba na górze) i mianownika (liczba na dole), oddzielonych kreską ułamkową. Na przykład, 1/2, 3/4, czy 7/8 to ułamki zwykłe.
Mianownik mówi nam, na ile równych części została podzielona całość. Natomiast licznik informuje, ile tych części bierzemy pod uwagę. W ułamku 1/2 mianownik (2) oznacza, że całość została podzielona na dwie równe części, a licznik (1) mówi nam, że bierzemy jedną z tych części.
Mnożenie Ułamków Zwykłych
Mnożenie ułamków zwykłych jest proste. Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Wynik tego mnożenia to nowy licznik i nowy mianownik naszego ułamka. To wszystko!
Spójrzmy na przykład. Chcemy pomnożyć 1/2 przez 2/3. Licznik pierwszego ułamka (1) mnożymy przez licznik drugiego ułamka (2), co daje nam 2. Mianownik pierwszego ułamka (2) mnożymy przez mianownik drugiego ułamka (3), co daje nam 6. Zatem, 1/2 * 2/3 = 2/6.
Otrzymany ułamek 2/6 możemy często uprościć. Uproszczenie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika przez ich największy wspólny dzielnik. W przypadku ułamka 2/6, największym wspólnym dzielnikiem 2 i 6 jest 2. Dzieląc 2 przez 2 otrzymujemy 1, a dzieląc 6 przez 2 otrzymujemy 3. Zatem, 2/6 po uproszczeniu to 1/3.
Przykłady Mnożenia
Rozważmy jeszcze kilka przykładów. Powiedzmy, że chcemy pomnożyć 3/4 przez 1/5. Mnożymy liczniki: 3 * 1 = 3. Mnożymy mianowniki: 4 * 5 = 20. Otrzymujemy 3/20. W tym przypadku, ułamka 3/20 nie da się uprościć.
A co, jeśli mamy pomnożyć 5/8 przez 4/7? Mnożymy liczniki: 5 * 4 = 20. Mnożymy mianowniki: 8 * 7 = 56. Otrzymujemy 20/56. Ten ułamek możemy uprościć. Największym wspólnym dzielnikiem 20 i 56 jest 4. Dzieląc 20 przez 4 otrzymujemy 5, a dzieląc 56 przez 4 otrzymujemy 14. Zatem, 20/56 po uproszczeniu to 5/14.
Dzielenie Ułamków Zwykłych
Dzielenie ułamków zwykłych wymaga jednego dodatkowego kroku. Zamiast dzielić, mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka. Odwrotność ułamka to po prostu zamiana licznika z mianownikiem.
Jeśli mamy ułamek 2/3, jego odwrotnością jest 3/2. Jeśli mamy ułamek 5/7, jego odwrotnością jest 7/5. To bardzo proste!
Teraz, jak podzielić ułamki? Załóżmy, że chcemy podzielić 1/2 przez 2/3. Zamiast dzielić 1/2 przez 2/3, pomnożymy 1/2 przez odwrotność 2/3, czyli 3/2. Zatem, 1/2 ÷ 2/3 = 1/2 * 3/2.
Teraz mnożymy, tak jak uczyliśmy się wcześniej. Mnożymy liczniki: 1 * 3 = 3. Mnożymy mianowniki: 2 * 2 = 4. Otrzymujemy 3/4. Zatem, 1/2 ÷ 2/3 = 3/4.
Przykłady Dzielenia
Przeanalizujmy kilka przykładów. Chcemy podzielić 3/4 przez 1/5. Odwrotnością 1/5 jest 5/1. Zatem, 3/4 ÷ 1/5 = 3/4 * 5/1. Mnożymy liczniki: 3 * 5 = 15. Mnożymy mianowniki: 4 * 1 = 4. Otrzymujemy 15/4. To jest ułamek niewłaściwy (licznik jest większy od mianownika). Możemy go zamienić na liczbę mieszaną. 15 podzielone przez 4 to 3 reszty 3. Zatem, 15/4 = 3 3/4.
A co z 5/8 podzielone przez 4/7? Odwrotnością 4/7 jest 7/4. Zatem, 5/8 ÷ 4/7 = 5/8 * 7/4. Mnożymy liczniki: 5 * 7 = 35. Mnożymy mianowniki: 8 * 4 = 32. Otrzymujemy 35/32. To również ułamek niewłaściwy. 35 podzielone przez 32 to 1 reszty 3. Zatem, 35/32 = 1 3/32.
Podsumowanie
Mnożenie ułamków zwykłych: mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
Dzielenie ułamków zwykłych: mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka.
Pamiętaj o upraszczaniu ułamków po wykonaniu działań. Upraszczanie ułamków pomaga przedstawić wynik w najprostszej postaci.
Praktyka czyni mistrza! Rozwiąż jak najwięcej przykładów, aby utrwalić swoją wiedzę. Powodzenia!
