Hej! Przygotuj się na przygodę z ułamkami algebraicznymi. Dziś nauczymy się je mnożyć i dzielić. Zobaczymy, to proste!
Mnożenie ułamków algebraicznych
Wyobraź sobie, że masz dwa zwykłe ułamki, np. 1/2 i 2/3. Mnożysz je, mnożąc liczniki i mianowniki. Dokładnie tak samo robimy z ułamkami algebraicznymi!
Spójrz: (a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d)
Liczniki mnożymy przez liczniki. Mianowniki mnożymy przez mianowniki.
Przykład: (x/y) * (3/z) = (x*3) / (y*z) = 3x/yz
To jak składanie klocków. Łączysz górę z górą i dół z dołem.
Upraszczanie przed mnożeniem
Często możemy coś uprościć, zanim zaczniemy mnożyć. Pomyśl o skracaniu zwykłych ułamków.
Przykład: (2x/3y) * (6y/4x)
Zauważ, że 2 i 4, jak również x i x, a także y i y, można skrócić!
Skracamy 2 i 4, dzieląc oba przez 2. Mamy 1 i 2.
Skracamy x i x, dzieląc oba przez x. Mamy 1 i 1.
Skracamy y i y, dzieląc oba przez y. Mamy 1 i 1.
Więc mamy: (1/3) * (6/2)
Teraz możemy skrócić 6 i 3, dzieląc oba przez 3. Mamy 2 i 1.
Zostaje nam: (1/1) * (2/2) = 2/2 = 1
Dużo łatwiej, prawda? Skracanie przed mnożeniem oszczędza nam dużo pracy.
Przykład z wyrażeniami
Co, jeśli mamy wyrażenia zamiast pojedynczych zmiennych?
Przykład: ((x+1)/y) * (y/(x+1))
Tu też możemy skrócić! Widzimy (x+1) w liczniku pierwszego ułamka i w mianowniku drugiego. Skracamy je.
Podobnie z y. Skracamy y w mianowniku pierwszego ułamka i w liczniku drugiego.
Zostaje nam: 1/1 * 1/1 = 1
Dzielenie ułamków algebraicznych
Dzielenie ułamków to jak mnożenie, ale z małą sztuczką. Pamiętasz, jak dzielimy zwykłe ułamki?
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy!
Czyli: (a/b) : (c/d) = (a/b) * (d/c) = (a*d) / (b*c)
Dzielenie zamienia się w mnożenie, a drugi ułamek obraca się do góry nogami.
Przykład: (x/y) : (z/w) = (x/y) * (w/z) = (x*w) / (y*z) = xw/yz
Wyobraź sobie, że masz pizzę. Dzieląc ją na mniejsze kawałki, tak naprawdę mnożysz liczbę kawałków!
Upraszczanie przed dzieleniem
Podobnie jak przy mnożeniu, warto uprościć ułamki przed odwróceniem i pomnożeniem.
Przykład: (4a/5b) : (2a/10b)
Zanim zaczniemy, popatrzmy, czy coś da się skrócić. Na razie zostawiamy pierwszy ułamek w spokoju.
Zamieniamy dzielenie na mnożenie i odwracamy drugi ułamek: (4a/5b) * (10b/2a)
Teraz skracamy! 4 i 2 można skrócić przez 2. Zostaje 2 i 1.
a i a można skrócić przez a. Zostaje 1 i 1.
b i b można skrócić przez b. Zostaje 1 i 1.
5 i 10 można skrócić przez 5. Zostaje 1 i 2.
Mamy: (2/1) * (2/1) = 4/1 = 4
Dzielenie z wyrażeniami
A co z wyrażeniami?
Przykład: ((x-2)/(y+1)) : ((x-2)/(y+1))
Zamieniamy dzielenie na mnożenie i odwracamy drugi ułamek: ((x-2)/(y+1)) * ((y+1)/(x-2))
Teraz skracamy! (x-2) i (x-2) się skracają. (y+1) i (y+1) też się skracają.
Zostaje nam 1/1 * 1/1 = 1
Pamiętaj! Najpierw odwracamy ułamek po znaku dzielenia, a potem mnożymy. I zawsze sprawdzamy, czy da się coś skrócić!
Podsumowanie
Mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych to proste operacje, jeśli pamiętasz kilka zasad.
Mnożenie: mnożymy liczniki i mianowniki.
Dzielenie: odwracamy drugi ułamek i mnożymy.
Upraszczanie: zawsze sprawdzamy, czy da się coś skrócić przed mnożeniem lub dzieleniem.
Ćwicz! Im więcej ćwiczysz, tym łatwiej to wszystko zapamiętasz. Powodzenia!
