Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z układów równań? Super! Dziś omówimy dwie popularne metody rozwiązywania: metodę podstawiania i metodę przeciwnych współczynników. Nie martw się, to proste! Zaczynamy!
Metoda Podstawiania
To pierwsza metoda. Chodzi o to, żeby wyznaczyć jedną zmienną z jednego równania i wstawić ją do drugiego równania.
Krok 1: Wyznacz jedną zmienną
Wybierz jedno z równań. Znajdź takie, w którym łatwo wyznaczyć jedną zmienną, np. x lub y.
Przykładowo, mamy układ równań:
x + y = 5
2x - y = 1
Z pierwszego równania łatwo wyznaczyć x:
x = 5 - y
Krok 2: Podstaw do drugiego równania
Teraz, zamiast x w drugim równaniu, wstawiamy (5 - y).
Otrzymujemy:
2(5 - y) - y = 1
Krok 3: Rozwiąż równanie z jedną zmienną
Uprość i rozwiąż równanie z jedną zmienną (w naszym przypadku y).
10 - 2y - y = 1
10 - 3y = 1
-3y = -9
y = 3
Krok 4: Oblicz drugą zmienną
Teraz, gdy znamy y, możemy obliczyć x. Wstaw y = 3 do równania x = 5 - y.
x = 5 - 3
x = 2
Krok 5: Sprawdź rozwiązanie
Na koniec, sprawdź, czy rozwiązanie (x = 2, y = 3) spełnia oba równania.
2 + 3 = 5 (OK)
2 * 2 - 3 = 1 (OK)
Więc rozwiązanie to (2, 3).
Metoda Przeciwnych Współczynników
Druga metoda. Celem jest, żeby przy jednej ze zmiennych mieć przeciwne współczynniki w obu równaniach. Potem dodajemy równania stronami.
Krok 1: Dobierz współczynniki
Zastanów się, przez co pomnożyć jedno lub oba równania, żeby przy jednej ze zmiennych mieć przeciwne współczynniki.
Weźmy przykład:
2x + y = 7
x - y = -1
W tym przypadku widzimy, że przy y mamy już przeciwne współczynniki (+1 i -1). Nie musimy nic mnożyć!
Krok 2: Dodaj równania stronami
Dodaj lewe strony równań do siebie i prawe strony równań do siebie.
(2x + y) + (x - y) = 7 + (-1)
3x = 6
Krok 3: Rozwiąż równanie z jedną zmienną
Rozwiąż równanie z jedną zmienną (w naszym przypadku x).
x = 2
Krok 4: Oblicz drugą zmienną
Wstaw wartość x do jednego z pierwotnych równań i oblicz y.
Weźmy drugie równanie: x - y = -1.
2 - y = -1
-y = -3
y = 3
Krok 5: Sprawdź rozwiązanie
Sprawdź, czy rozwiązanie (x = 2, y = 3) spełnia oba równania.
2 * 2 + 3 = 7 (OK)
2 - 3 = -1 (OK)
Więc rozwiązanie to (2, 3).
Kiedy używać której metody?
Metoda podstawiania jest dobra, gdy łatwo wyznaczyć jedną zmienną z jednego równania. Na przykład, gdy masz równanie typu x = ... lub y = ....
Metoda przeciwnych współczynników jest dobra, gdy łatwo doprowadzić do przeciwnych współczynników przy jednej ze zmiennych. Często wystarczy pomnożyć tylko jedno równanie.
Przykładowe zadania
Spróbuj rozwiązać te układy równań, używając obu metod:
1. x - 2y = 1
3x + y = 10
2. 4x + 3y = 6
2x - y = 1
Podsumowanie
Pamiętaj! Układy równań to nic strasznego.
Metoda podstawiania: Wyznacz jedną zmienną i wstaw ją do drugiego równania.
Metoda przeciwnych współczynników: Doprowadź do przeciwnych współczynników i dodaj równania stronami.
Zawsze sprawdzaj swoje rozwiązanie! Ćwicz, ćwicz i jeszcze raz ćwicz!
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!
