Witajcie! Dzisiaj zajmiemy się układami równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Brzmi strasznie? Nie martwcie się, rozłożymy to na czynniki pierwsze i zobaczycie, że to nic trudnego.
Czym jest równanie liniowe?
Zacznijmy od podstaw. Równanie liniowe to wyrażenie matematyczne, w którym mamy znak równości (=) i gdzie najwyższa potęga niewiadomej to 1. Czyli żadnych x2, x3, itd. Tylko zwykłe x i y.
Przykład? 2x + 3 = 7 to równanie liniowe z jedną niewiadomą (x). Możemy je rozwiązać i znaleźć wartość x, która sprawia, że równanie jest prawdziwe.
Teraz dołóżmy drugą niewiadomą. x + y = 5 to równanie liniowe z dwiema niewiadomymi (x i y). Zauważcie, że teraz nie mamy jednej konkretnej wartości dla x i y. Istnieje wiele par liczb, które spełniają to równanie. Na przykład: x=2 i y=3, x=1 i y=4, x=0 i y=5, a nawet x=-1 i y=6. To ważne, żeby to zrozumieć, bo to podstawa do zrozumienia układów równań.
Co to jest układ równań?
Układ równań to po prostu kilka równań, które rozpatrujemy jednocześnie. Szukamy takich wartości niewiadomych, które spełniają wszystkie równania w układzie naraz.
W naszym przypadku, układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi składa się z dwóch (lub więcej, ale skupiamy się na dwóch) równań liniowych, każde z dwiema niewiadomymi. Na przykład:
x + y = 5
x - y = 1
Zwróćcie uwagę, że szukamy takich wartości x i y, które spełniają oba te równania jednocześnie. Nie wystarczy, że para liczb spełnia tylko jedno równanie. Musi pasować do obu.
Rozwiązanie układu równań
Rozwiązanie układu równań to para liczb (x, y), która po wstawieniu do każdego równania w układzie, sprawia, że równania stają się prawdziwe.
W naszym przykładzie (x + y = 5 i x - y = 1) rozwiązaniem jest para liczb x = 3 i y = 2. Sprawdźmy: 3 + 2 = 5 (pierwsze równanie się zgadza), 3 - 2 = 1 (drugie równanie też się zgadza!). Zatem (3, 2) to rozwiązanie naszego układu równań.
Metody rozwiązywania układów równań
Istnieje kilka metod rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Omówimy dwie najpopularniejsze:
Metoda podstawiania
Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i wstawieniu jej do drugiego równania.
Krok 1: Wybieramy jedno z równań i wyznaczamy z niego jedną z niewiadomych. Na przykład, z równania x + y = 5 możemy wyznaczyć x: x = 5 - y.
Krok 2: Wstawiamy wyznaczone x do drugiego równania. W naszym przykładzie drugie równanie to x - y = 1. Wstawiamy zamiast x wyrażenie (5 - y): (5 - y) - y = 1.
Krok 3: Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą. 5 - y - y = 1 upraszczamy do 5 - 2y = 1. Następnie -2y = -4, a stąd y = 2.
Krok 4: Wracamy do pierwszego równania (lub wyznaczonego wyrażenia) i obliczamy drugą niewiadomą. Wiemy, że x = 5 - y, a y = 2. Zatem x = 5 - 2 = 3.
Mamy rozwiązanie: x = 3 i y = 2, czyli para (3, 2).
Metoda przeciwnych współczynników
Metoda przeciwnych współczynników polega na takim pomnożeniu równań, aby przy jednej z niewiadomych uzyskać przeciwne współczynniki. Następnie dodajemy równania stronami, eliminując jedną z niewiadomych.
Krok 1: Sprawdzamy, czy przy którejś z niewiadomych mamy przeciwne współczynniki. Jeśli nie, mnożymy jedno lub oba równania przez odpowiednie liczby, aby to osiągnąć.
W naszym przykładzie (x + y = 5 i x - y = 1) przy niewiadomej y mamy współczynniki 1 i -1. Już są przeciwne, więc nie musimy nic mnożyć!
Krok 2: Dodajemy równania stronami. Czyli lewą stronę pierwszego równania dodajemy do lewej strony drugiego równania, a prawą stronę pierwszego równania dodajemy do prawej strony drugiego równania.
(x + y) + (x - y) = 5 + 1. Upraszczamy: 2x = 6.
Krok 3: Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą. 2x = 6, więc x = 3.
Krok 4: Wstawiamy obliczone x do jednego z pierwotnych równań i obliczamy drugą niewiadomą. Wstawmy x = 3 do równania x + y = 5: 3 + y = 5, więc y = 2.
Mamy rozwiązanie: x = 3 i y = 2, czyli para (3, 2).
Przykład z życia wzięty
Wyobraźcie sobie, że idziecie do sklepu i kupujecie 2 bułki i 1 rogalik za 5 zł. Następnego dnia kupujecie 1 bułkę i 2 rogaliki za 4 zł. Ile kosztuje jedna bułka, a ile jeden rogalik?
Oznaczmy: x - cena bułki, y - cena rogalika.
Możemy zapisać układ równań:
2x + y = 5
x + 2y = 4
Rozwiążmy to metodą podstawiania. Z drugiego równania wyznaczmy x: x = 4 - 2y.
Wstawiamy do pierwszego równania: 2(4 - 2y) + y = 5. Upraszczamy: 8 - 4y + y = 5, 8 - 3y = 5, -3y = -3, y = 1.
Zatem rogalik kosztuje 1 zł. Wracamy do x = 4 - 2y i wstawiamy y = 1: x = 4 - 2 * 1 = 2.
Bułka kosztuje 2 zł. Odpowiedź: bułka kosztuje 2 zł, a rogalik 1 zł.
Podsumowanie
Mam nadzieję, że teraz rozumiecie, czym są układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi i jak je rozwiązywać. Pamiętajcie o definicjach: równanie liniowe, układ równań, rozwiązanie układu równań. Przećwiczcie obie metody: podstawiania i przeciwnych współczynników. Im więcej przykładów rozwiążecie, tym łatwiej będzie Wam się z tym uporać. Powodzenia!
