Hej! Zajmiemy się dzisiaj funkcjami przynależności rozmytiej. Są one kluczowe w logice rozmytej. Bez obaw, to nie jest tak trudne, jak brzmi! Użyjemy dużo obrazowych przykładów.
Czym w ogóle są funkcje przynależności?
Wyobraź sobie termostat. W klasycznym, "ostrym" systemie, temperatura jest ALBO "wysoka", ALBO "niska". Nie ma nic pomiędzy. Logika rozmyta pozwala na stwierdzenie, że temperatura jest "trochę wysoka" i "trochę niska" jednocześnie.
Funkcja przynależności to taka miarka. Pokazuje, w jakim stopniu element należy do danego zbioru rozmytnego. Zwraca wartość z przedziału od 0 do 1. 0 oznacza brak przynależności, a 1 pełną przynależność.
Pomyśl o szklance, która jest w połowie pełna. W logice klasycznej szklanka jest ALBO pełna, ALBO pusta. W logice rozmytej, możemy powiedzieć, że szklanka jest "w 50% pełna". Funkcja przynależności dla zbioru "pełna" dałaby wartość 0.5.
Rodzaje funkcji przynależności
Istnieje kilka rodzajów funkcji przynależności. Każda ma inny kształt i opisuje przynależność w inny sposób. Przyjrzyjmy się najpopularniejszym.
Funkcja trójkątna (Triangular Membership Function)
Wyobraź sobie trójkąt. To właśnie jest funkcja trójkątna! Definiowana jest przez trzy parametry: a, b i c. a to początek podstawy trójkąta, b to wierzchołek, a c to koniec podstawy.
Dla wartości mniejszych od a, przynależność wynosi 0. Dla wartości większych od c, przynależność też wynosi 0. Dla wartości pomiędzy a i b, przynależność rośnie liniowo do 1 (w wierzchołku). Dla wartości pomiędzy b i c, przynależność maleje liniowo do 0.
Przykład: Chcemy opisać "średni wiek". Możemy założyć, że "średni" wiek to około 30 lat (b). Ustalmy granice: nikt poniżej 18 lat (a) i powyżej 45 lat (c) nie jest uważany za "średni wiek". Osoba mająca 30 lat ma przynależność 1 do zbioru "średni wiek". Osoba mająca 24 lata ma przynależność mniejszą niż 1, np. 0.5. Osoba mająca 16 lat ma przynależność 0.
Funkcja trapezoidalna (Trapezoidal Membership Function)
Podobnie jak trójkąt, ale z "płaskim wierzchołkiem". Potrzebujemy czterech parametrów: a, b, c i d. a i d to końce podstawy trapezu, b i c to granice płaskiego wierzchołka.
Dla wartości mniejszych od a, przynależność wynosi 0. Dla wartości większych od d, przynależność też wynosi 0. Pomiędzy a i b, przynależność rośnie liniowo do 1. Pomiędzy b i c, przynależność wynosi 1 (płaski wierzchołek). Pomiędzy c i d, przynależność maleje liniowo do 0.
Przykład: Chcemy opisać "wysoką temperaturę". Załóżmy, że temperatura pomiędzy 25°C (b) a 30°C (c) jest na pewno "wysoka" (przynależność 1). Temperatura poniżej 20°C (a) na pewno nie jest "wysoka" (przynależność 0). Powyżej 35°C (d) na pewno nie jest "wysoka" (przynależność 0). Temperatury pomiędzy 20°C a 25°C oceniamy stopniowo jako "wysokie". Podobnie z temperaturami pomiędzy 30°C a 35°C.
Funkcja Gaussa (Gaussian Membership Function)
Wygląda jak dzwon. Opisywana przez dwa parametry: μ (średnia) i σ (odchylenie standardowe). Średnia (μ) to punkt, w którym funkcja osiąga wartość 1. Odchylenie standardowe (σ) określa "szerokość" dzwonu. Im większe σ, tym szerszy dzwon.
Przynależność maleje w obu kierunkach od średniej, zgodnie z rozkładem normalnym (Gaussa).
Przykład: Chcemy opisać "bliskość". Załóżmy, że stoimy w punkcie 0. Punkt 0 (μ) jest "najbliżej" (przynależność 1). Im dalej od punktu 0, tym mniejsza przynależność do zbioru "blisko". Odchylenie standardowe (σ) określa, jak szybko "bliskość" maleje wraz z odległością.
Funkcja Sigmoidalna (Sigmoidal Membership Function)
Wygląda jak litera "S". Ma łagodny wzrost lub spadek. Istnieje kilka wariantów funkcji sigmoidalnej. Charakteryzuje się asymetrycznym wzrostem lub spadkiem.
Używana, gdy chcemy modelować stopniową zmianę przynależności.
Przykład: Określanie "dojrzałości" owocu. Na początku wzrost dojrzałości jest powolny, potem szybki, a na końcu znowu powolny, gdy owoc jest już bardzo dojrzały i zaczyna się psuć.
Podsumowanie
Funkcje przynależności rozmytej pozwalają nam opisywać świat w sposób bardziej zbliżony do ludzkiego postrzegania. Wybór odpowiedniej funkcji zależy od konkretnego problemu, który rozwiązujemy. Pamiętaj, że to tylko narzędzia! Najważniejsze to zrozumieć ideę rozmytości i jak ją wykorzystać.
Warto poeksperymentować z różnymi funkcjami i zobaczyć, jak wpływają na działanie całego systemu rozmytego. Powodzenia!
