Witajcie, ósmoklasiści! Gotowi na przygodę z Twierdzeniem Pitagorasa?
To jedno z tych magicznych praw matematyki, które otwierają drzwi do rozwiązywania wielu ciekawych problemów. A co najważniejsze, jest o wiele prostsze, niż się wydaje! Przygotujcie się na wizualną podróż!
Czym jest Twierdzenie Pitagorasa?
Wyobraź sobie trójkąt prostokątny.
To taki trójkąt, który ma jeden kąt prosty, czyli kąt o mierze 90 stopni.
Kąt prosty wygląda jak róg kartki papieru.
Dwa boki, które tworzą kąt prosty, nazywamy przyprostokątnymi.
Najdłuższy bok, leżący naprzeciwko kąta prostego, nazywamy przeciwprostokątną.
Twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że istnieje pewna specjalna zależność między długościami tych boków.
Brzmi groźnie? Spokojnie! Zaraz wszystko stanie się jasne!
Wzór na Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa wyrażamy prostym wzorem: a² + b² = c².
a i b to długości przyprostokątnych, a c to długość przeciwprostokątnej.
Ale co to właściwie oznacza? Wyobraź sobie kwadrat zbudowany na każdym z boków trójkąta.
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej (c²) jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych (a² + b²).
Spróbujmy to zwizualizować. Narysuj trójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5 cm.
Na boku o długości 3 cm narysuj kwadrat o boku 3 cm. Jego pole to 3 * 3 = 9 cm².
Na boku o długości 4 cm narysuj kwadrat o boku 4 cm. Jego pole to 4 * 4 = 16 cm².
Na boku o długości 5 cm narysuj kwadrat o boku 5 cm. Jego pole to 5 * 5 = 25 cm².
Zauważ, że 9 + 16 = 25!
Czyli pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej (25 cm²) jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych (9 cm² + 16 cm²).
To właśnie Twierdzenie Pitagorasa w akcji!
Zadania z życia wzięte
Pokażę, jak Twierdzenie Pitagorasa przydaje się w realnych sytuacjach.
Zadanie 1: Drabina przy ścianie
Wyobraź sobie drabinę o długości 5 metrów opartą o ścianę.
Podstawa drabiny jest oddalona od ściany o 3 metry.
Na jakiej wysokości drabina dotyka ściany?
Ściana, ziemia i drabina tworzą trójkąt prostokątny.
Drabina to przeciwprostokątna (c = 5 m), a odległość podstawy drabiny od ściany to jedna z przyprostokątnych (a = 3 m).
Musimy znaleźć długość drugiej przyprostokątnej (b), czyli wysokość, na jakiej drabina dotyka ściany.
Użyjemy wzoru: a² + b² = c².
Podstawiamy znane wartości: 3² + b² = 5².
Obliczamy: 9 + b² = 25.
Odejmujemy 9 od obu stron: b² = 16.
Pierwiastek kwadratowy z 16 to 4, więc b = 4 m.
Drabina dotyka ściany na wysokości 4 metrów!
Zadanie 2: Przekątna prostokąta
Masz prostokąt o bokach 6 cm i 8 cm.
Jak długa jest jego przekątna?
Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne.
Boki prostokąta to przyprostokątne trójkąta (a = 6 cm, b = 8 cm), a przekątna to przeciwprostokątna (c).
Używamy wzoru: a² + b² = c².
Podstawiamy: 6² + 8² = c².
Obliczamy: 36 + 64 = c².
100 = c².
Pierwiastek kwadratowy ze 100 to 10, więc c = 10 cm.
Przekątna prostokąta ma długość 10 cm!
Zapamiętaj!
Twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkątów prostokątnych.
Zawsze upewnij się, że wiesz, która strona jest przeciwprostokątną (najdłuższy bok, naprzeciwko kąta prostego).
Wzór a² + b² = c² możesz wykorzystać do obliczenia długości dowolnego boku trójkąta prostokątnego, jeśli znasz długości dwóch pozostałych boków.
Ćwicz rozwiązywanie zadań! Im więcej zadań zrobisz, tym lepiej zrozumiesz Twierdzenie Pitagorasa.
Powodzenia!
