Zajmiemy się teraz trójkątem prostokątnym opisanym na okręgu. Zobaczymy, jakie relacje zachodzą między bokami trójkąta a promieniem okręgu wpisanego.
Definicje i podstawowe informacje
Zacznijmy od podstawowych definicji. Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden z kątów jest prosty, czyli ma miarę 90 stopni. Boki tworzące kąt prosty nazywamy przyprostokątnymi, a bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna.
Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do każdego z boków trójkąta. Oznacza to, że każdy bok trójkąta jest styczną do okręgu. Środek okręgu wpisanego w trójkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.
Trójkąt opisany na okręgu to taki trójkąt, w którym okrąg jest wpisany. Innymi słowy, okrąg jest styczny do wszystkich boków trójkąta.
Zależności w trójkącie prostokątnym opisanym na okręgu
Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości *a* i *b*, przeciwprostokątnej długości *c* i promieniu okręgu wpisanego *r*. Istnieje kilka ważnych zależności między tymi wielkościami.
Pierwsza ważna zależność to wzór na pole trójkąta. Możemy obliczyć pole trójkąta prostokątnego na dwa sposoby. Po pierwsze, jako połowę iloczynu długości przyprostokątnych: P = (a*b)/2. Po drugie, jako iloczyn połowy obwodu trójkąta i promienia okręgu wpisanego: P = p*r, gdzie p = (a+b+c)/2 jest połową obwodu trójkąta.
Zatem, mamy równość: (a*b)/2 = ((a+b+c)/2)*r. Po uproszczeniu, otrzymujemy ważny związek: a*b = (a+b+c)*r. Ten wzór wiąże długości boków trójkąta z promieniem okręgu wpisanego.
Kolejny istotny wzór, który możemy wyprowadzić, to wyrażenie na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny: r = (a+b-c)/2. Aby to udowodnić, spójrzmy na punkty styczności okręgu z bokami trójkąta. Odcinki od wierzchołków kąta prostego do punktów styczności mają długość *r*. Odcinek przyprostokątnej *a* od wierzchołka kąta prostego do punktu styczności ma długość *r*, a pozostała część przyprostokątnej *a* ma długość a-r. Podobnie, odcinek przyprostokątnej *b* od wierzchołka kąta prostego do punktu styczności ma długość *r*, a pozostała część przyprostokątnej *b* ma długość b-r. Dwa odcinki od wierzchołków kątów ostrych do punktów styczności mają równe długości. Dlatego, przeciwprostokątna *c* składa się z dwóch odcinków: (a-r) i (b-r). Zatem c = (a-r) + (b-r) = a + b - 2r. Po przekształceniu otrzymujemy: 2r = a + b - c, czyli r = (a+b-c)/2.
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa (a2 + b2 = c2) i wzór na promień okręgu wpisanego, możemy rozwiązywać różnorodne zadania geometryczne.
Przykłady zastosowań
Przykład 1: Mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 i 4. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej: c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25, więc c = 5. Teraz możemy obliczyć promień okręgu wpisanego: r = (3+4-5)/2 = 2/2 = 1.
Przykład 2: Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 13 i promieniu okręgu wpisanego równym 2. Jedna z przyprostokątnych ma długość 5. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej. Mamy: r = (a+b-c)/2, czyli 2 = (5+b-13)/2. Zatem 4 = 5 + b - 13, czyli b = 12. Sprawdźmy, czy to się zgadza z twierdzeniem Pitagorasa: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132. Wszystko się zgadza.
Przykład 3: Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość 6 i 8. Następnie oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Pole trójkąta wynosi P = (6*8)/2 = 24. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną: c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, więc c = 10. Promień okręgu wpisanego wynosi r = (6+8-10)/2 = 4/2 = 2.
Podsumowanie
Trójkąt prostokątny opisany na okręgu ma wiele ciekawych właściwości i zależności. Kluczowe wzory to: r = (a+b-c)/2 (promień okręgu wpisanego), oraz a2 + b2 = c2 (twierdzenie Pitagorasa). Znajomość tych wzorów pozwala rozwiązywać zadania związane z obliczaniem długości boków trójkąta i promienia okręgu wpisanego.
Pamiętaj, aby zawsze dokładnie analizować dane w zadaniu i wybierać odpowiednie wzory do jego rozwiązania. Wykorzystanie tych zależności w praktyce pomoże Ci lepiej zrozumieć geometrię trójkątów i okręgów.
