Witajcie, przyszli eksperci od trójkątów prostokątnych! Przygotujcie się na sprawdzian z 2. klasy gimnazjum. Ten przewodnik pomoże Wam usystematyzować wiedzę. Powodzenia!
Definicje i podstawowe pojęcia
Na początek przypomnijmy sobie podstawy. Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden z kątów jest prosty (ma 90 stopni).
Boki tworzące kąt prosty nazywamy przyprostokątnymi. Najdłuższy bok, leżący naprzeciwko kąta prostego, to przeciwprostokątna.
Pamiętajcie o oznaczeniach! Kąty oznaczamy dużymi literami (A, B, C), a boki małymi (a, b, c). Zazwyczaj kąt prosty oznaczamy literą C, a bok c to przeciwprostokątna.
Twierdzenie Pitagorasa
To absolutna podstawa! Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Matematycznie zapisujemy to tak: a2 + b2 = c2. Gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna.
Przykład: Jeśli a = 3 i b = 4, to c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Zatem c = √25 = 5.
Odwrotne Twierdzenie Pitagorasa
Odwrotne twierdzenie Pitagorasa pozwala sprawdzić, czy dany trójkąt jest prostokątny. Jeśli dla trzech boków trójkąta zachodzi zależność a2 + b2 = c2, to trójkąt jest prostokątny.
Przykład: Mamy trójkąt o bokach 5, 12 i 13. Sprawdzamy: 52 + 122 = 25 + 144 = 169. Natomiast 132 = 169. Zatem ten trójkąt jest prostokątny.
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Funkcje trygonometryczne opisują zależność między kątami a bokami trójkąta prostokątnego. Skupimy się na kątach ostrych (mniejszych niż 90 stopni).
Sinus (sin α)
Sinus kąta α to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
sin α = (długość przyprostokątnej naprzeciwko kąta α) / (długość przeciwprostokątnej)
Cosinus (cos α)
Cosinus kąta α to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej.
cos α = (długość przyprostokątnej przyległej do kąta α) / (długość przeciwprostokątnej)
Tangens (tg α)
Tangens kąta α to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α.
tg α = (długość przyprostokątnej naprzeciwko kąta α) / (długość przyprostokątnej przyległej do kąta α)
Cotangens (ctg α)
Cotangens kąta α to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α. Jest to odwrotność tangensa.
ctg α = (długość przyprostokątnej przyległej do kąta α) / (długość przyprostokątnej naprzeciwko kąta α)
Ważne: Naucz się wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60°. Pomocna może być tabelka!
Zastosowania praktyczne
Trójkąty prostokątne i twierdzenie Pitagorasa znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, np. w budownictwie, geodezji i nawigacji. Funkcje trygonometryczne pozwalają obliczać wysokości budynków, odległości i kąty.
Przykład: Chcesz obliczyć wysokość drzewa. Stoisz w pewnej odległości od niego i mierzysz kąt, pod jakim widzisz wierzchołek drzewa. Znając odległość i kąt, możesz obliczyć wysokość drzewa za pomocą tangensa.
Typowe zadania na sprawdzianie
Spodziewaj się zadań, w których trzeba:
- Obliczyć długość boku trójkąta prostokątnego, znając długości dwóch pozostałych boków (z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa).
- Sprawdzić, czy dany trójkąt jest prostokątny (z wykorzystaniem odwrotnego twierdzenia Pitagorasa).
- Obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, znając długości boków trójkąta.
- Wykorzystać funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań praktycznych.
- Obliczyć pole trójkąta prostokątnego (P = ½ * a * b).
Porady na sprawdzian
Przeczytaj uważnie treść zadania. Zrób rysunek pomocniczy. Zastanów się, które twierdzenie lub wzór zastosować. Sprawdzaj jednostki. Nie zostawiaj zadań bez próby rozwiązania! Pamiętaj o dokładności obliczeń.
Podsumowanie
Pamiętaj, aby dobrze znać definicję trójkąta prostokątnego, twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie. Naucz się funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens, cotangens) i ich wartości dla podstawowych kątów. Ćwicz rozwiązywanie różnych zadań. Zastosuj się do porad na sprawdzian.
Życzę Wam powodzenia na sprawdzianie! Wierzę, że dacie radę!
