Witajcie w świecie tożsamości trygonometrycznych! Przygotujcie się na fascynującą podróż.
Wyobraźcie sobie koło. To nasze koło trygonometryczne. Ma promień równy 1. Jest to klucz do zrozumienia wszystkiego.
Podstawowe Tożsamości
Najważniejsza tożsamość to jedynka trygonometryczna. Brzmi groźnie? Niepotrzebnie!
sin2(α) + cos2(α) = 1. Zapamiętajcie to jak mantrę.
Spójrzcie na to jak na pitagorasowy trójkąt w kole. Sinus to jedna przyprostokątna, cosinus to druga. Promień (przeciwprostokątna) ma długość 1.
Druga tożsamość: tg(α) = sin(α) / cos(α). Tangens to "nachylenie" prostej.
Wyobraźcie sobie górę. Tangens to stromość zbocza.
Trzecia tożsamość: ctg(α) = cos(α) / sin(α). Cotangens to odwrotność tangensa.
To jak patrzenie na górę z boku. Mierzymy "szerokość" zbocza w stosunku do jego wysokości.
Przykłady Zadań z Rozwiązaniami
Czas na konkrety. Pokażemy, jak to działa w praktyce.
Zadanie 1: Uprość wyrażenie: sin(α) * ctg(α).
Pamiętamy, że ctg(α) = cos(α) / sin(α).
Więc sin(α) * ctg(α) = sin(α) * (cos(α) / sin(α)).
Sinus się skraca. Zostaje nam cos(α). Proste, prawda?
Zadanie 2: Wykaż, że 1 + tg2(α) = 1 / cos2(α).
Zaczynamy od lewej strony. Zamieniamy tangens na sinus i cosinus: 1 + (sin2(α) / cos2(α)).
Sprowadzamy do wspólnego mianownika: (cos2(α) + sin2(α)) / cos2(α).
Używamy jedynki trygonometrycznej: 1 / cos2(α). Czyli lewa strona równa się prawej. Udowodnione!
Zadanie 3: Oblicz sin(α), wiedząc, że cos(α) = 0.6 i α jest kątem ostrym.
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: sin2(α) + cos2(α) = 1.
Podstawiamy: sin2(α) + 0.62 = 1.
sin2(α) = 1 - 0.36 = 0.64.
sin(α) = √0.64 = 0.8 (wybieramy dodatni pierwiastek, bo α jest kątem ostrym).
Tożsamości Sum i Różnic Kątów
Czas na trudniejsze rzeczy. Sumy i różnice kątów. Brzmi skomplikowanie?
sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β).
Wyobraźcie sobie dwa obracające się koła. One "mieszają" swoje sinusy i cosinusy.
sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β). Podobne, tylko ze znakiem minus.
cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β).
Tu cosinusy i sinusy są bardziej "egoistyczne". Cosinusy trzymają się razem, sinusy też.
cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β). Znowu zmiana znaku.
Przykłady Zadań z Sumami i Różnicami Kątów
Zadanie 4: Oblicz sin(75°), wykorzystując fakt, że 75° = 45° + 30°.
Używamy wzoru na sinus sumy kątów: sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°).
Pamiętamy wartości: sin(45°) = cos(45°) = √2/2, sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2.
Podstawiamy: sin(75°) = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2) = (√6 + √2) / 4.
Tożsamości Podwojonego Kąta
Kolejny poziom wtajemniczenia. Podwojony kąt.
sin(2α) = 2sin(α)cos(α). Prosty wzór, który często się przydaje.
cos(2α) = cos2(α) - sin2(α). Można go zapisać na kilka sposobów.
cos(2α) = 2cos2(α) - 1. Wersja z samym cosinusem.
cos(2α) = 1 - 2sin2(α). Wersja z samym sinusem.
Przykłady Zadań z Podwojonym Kątem
Zadanie 5: Oblicz cos(2α), wiedząc, że sin(α) = 3/5.
Możemy użyć wzoru: cos(2α) = 1 - 2sin2(α).
Podstawiamy: cos(2α) = 1 - 2 * (3/5)2 = 1 - 2 * (9/25) = 1 - 18/25 = 7/25.
Zadanie 6: Uprość wyrażenie: (sin(2α)) / (sin(α)).
Używamy wzoru na sinus podwojonego kąta: (2sin(α)cos(α)) / (sin(α)).
Sinus się skraca. Zostaje nam 2cos(α).
Praktyczne Zastosowania
Tożsamości trygonometryczne to nie tylko suche wzory. Mają zastosowania w fizyce, inżynierii, grafice komputerowej.
Opisują ruch falowy, drgania, propagację fal elektromagnetycznych.
Pomagają w obliczeniach związanych z nawigacją, budownictwem, astronomią.
Dzięki nim możemy tworzyć realistyczne animacje 3D, gry komputerowe.
Mam nadzieję, że teraz tożsamości trygonometryczne wydają się mniej straszne. Pamiętajcie o kole trygonometrycznym i podstawowych definicjach. Ćwiczcie regularnie, a wszystko stanie się jasne i zrozumiałe!
