Hej Studencie! Przygotuj się na egzamin z Statystyki Matematycznej! Poniżej znajdziesz wzory i objaśnienia, które pomogą Ci zdać egzamin. Powodzenia!
Podstawowe Definicje i Wzory
Zacznijmy od podstaw. Musisz znać definicje, żeby zrozumieć dalsze zagadnienia.
Średnia Arytmetyczna
Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę.
Wzór: x̄ = (∑xᵢ) / n
Gdzie: x̄ to średnia, xᵢ to każda wartość, a n to liczba wartości.
Mediana
Mediana to wartość środkowa w uporządkowanym zbiorze danych.
Jeśli n jest nieparzyste, mediana to (n+1)/2-ta wartość.
Jeśli n jest parzyste, mediana to średnia z n/2-tej i (n/2 + 1)-szej wartości.
Dominanta (Moda)
Dominanta (lub moda) to wartość, która występuje najczęściej w zbiorze danych.
Wariancja
Wariancja mierzy, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej.
Wzór dla próby: s² = ∑(xᵢ - x̄)² / (n-1)
Wzór dla populacji: σ² = ∑(xᵢ - μ)² / N
Gdzie: s² to wariancja próby, σ² to wariancja populacji, μ to średnia populacji, a N to liczba elementów w populacji.
Odchylenie Standardowe
Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji. Mierzy rozproszenie danych w tych samych jednostkach co dane.
Wzór dla próby: s = √s²
Wzór dla populacji: σ = √σ²
Rozkłady Prawdopodobieństwa
Kolejny ważny temat to rozkłady prawdopodobieństwa. Musisz znać ich charakterystyki i kiedy je stosować.
Rozkład Normalny
Rozkład normalny, nazywany też rozkładem Gaussa, jest symetryczny i dzwonowaty. Jest bardzo popularny w statystyce.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa: f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x-μ)² / (2σ²)))
Oznaczenie: N(μ, σ²), gdzie μ to średnia, a σ² to wariancja.
Rozkład Dwumianowy
Rozkład dwumianowy opisuje prawdopodobieństwo uzyskania określonej liczby sukcesów w serii niezależnych prób Bernoulliego.
Wzór: P(X = k) = (n nad k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Gdzie: n to liczba prób, k to liczba sukcesów, a p to prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie, a (n nad k) to współczynnik dwumianowy.
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona opisuje liczbę zdarzeń w danym przedziale czasu lub przestrzeni, jeśli zdarzenia występują niezależnie i ze stałą średnią intensywnością.
Wzór: P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!
Gdzie: λ to średnia liczba zdarzeń w danym przedziale, a k to liczba zdarzeń.
Estymacja Parametrów
Estymacja parametrów to proces szacowania wartości parametrów populacji na podstawie próby.
Estymacja Punktowa
Estymacja punktowa polega na podaniu jednej wartości jako oszacowania parametru.
Na przykład, średnia z próby jest estymatorem punktowym średniej populacji.
Estymacja Przedziałowa
Estymacja przedziałowa polega na podaniu przedziału, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się wartość parametru.
Przedział ufności to taki przedział, który z prawdopodobieństwem 1-α zawiera prawdziwą wartość parametru. α to poziom istotności.
Wzór na przedział ufności dla średniej, gdy odchylenie standardowe populacji jest znane: x̄ ± z_(α/2) * (σ / √n)
Gdzie: z_(α/2) to kwantyl rzędu 1-α/2 rozkładu normalnego standardowego.
Wzór na przedział ufności dla średniej, gdy odchylenie standardowe populacji jest nieznane: x̄ ± t_(α/2, n-1) * (s / √n)
Gdzie: t_(α/2, n-1) to kwantyl rzędu 1-α/2 rozkładu t-Studenta z n-1 stopniami swobody.
Testowanie Hipotez
Testowanie hipotez to proces sprawdzania, czy dane z próby dostarczają wystarczających dowodów, aby odrzucić hipotezę zerową.
Hipoteza Zerowa i Alternatywna
Hipoteza zerowa (H₀) to założenie, które chcemy obalić.
Hipoteza alternatywna (H₁) to hipoteza, która jest prawdziwa, jeśli hipoteza zerowa jest fałszywa.
Błąd I i II Rodzaju
Błąd I rodzaju (α) to odrzucenie hipotezy zerowej, gdy jest ona prawdziwa.
Błąd II rodzaju (β) to nieodrzucenie hipotezy zerowej, gdy jest ona fałszywa.
Poziom Istotności
Poziom istotności (α) to prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju. Zazwyczaj przyjmuje się wartości 0.05 lub 0.01.
Wartość p
Wartość p to prawdopodobieństwo uzyskania wyniku tak ekstremalnego lub bardziej ekstremalnego niż ten, który otrzymano, przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa.
Jeśli wartość p jest mniejsza lub równa poziomowi istotności (p ≤ α), odrzucamy hipotezę zerową.
Korelacja i Regresja
Korelacja
Korelacja mierzy siłę i kierunek liniowej zależności między dwiema zmiennymi.
Współczynnik korelacji Pearsona (r): r = ∑((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (√(∑(xᵢ - x̄)²) * √(∑(yᵢ - ȳ)²))
r przyjmuje wartości od -1 do 1. Wartości bliskie 1 oznaczają silną korelację dodatnią, wartości bliskie -1 oznaczają silną korelację ujemną, a wartości bliskie 0 oznaczają brak korelacji liniowej.
Regresja Liniowa
Regresja liniowa służy do modelowania zależności między zmienną zależną (y) a zmienną niezależną (x).
Równanie prostej regresji: y = a + bx
Gdzie:
- a to punkt przecięcia z osią y (intercept)
- b to współczynnik kierunkowy (slope)
Szacowanie parametrów a i b metodą najmniejszych kwadratów:
- b = ∑((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / ∑(xᵢ - x̄)²
- a = ȳ - b * x̄
Podsumowanie
Pamiętaj! Kluczowe wzory to: średnia, mediana, dominanta, wariancja, odchylenie standardowe, rozkład normalny, dwumianowy, Poissona, przedziały ufności i testowanie hipotez. Zrozumienie koncepcji i umiejętność zastosowania wzorów to podstawa sukcesu.
Ucz się regularnie, rozwiązuj zadania i nie bój się pytać! Powodzenia na egzaminie!
