Cześć! Przygotowujesz się do sprawdzianu z matematyki z liczb naturalnych? Super! Ten artykuł pomoże Ci zrozumieć wszystkie najważniejsze zagadnienia i poczuć się pewniej na teście.
Co to są liczby naturalne?
Liczby naturalne to najprostsze liczby, jakimi posługujemy się na co dzień. Używamy ich do liczenia przedmiotów. Zaczynamy od 1, potem 2, 3, 4 i tak dalej, aż do nieskończoności.
Pomyśl o jabłkach w koszyku. Możesz mieć jedno jabłko, dwa jabłka, trzy jabłka. Ale nie możesz mieć minus jednego jabłka! Liczby naturalne są zawsze dodatnie i całkowite. Często 0 jest również zaliczane do liczb naturalnych, ale to zależy od przyjętej definicji.
Formalnie, zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem ℕ. Możemy to zapisać tak: ℕ = {1, 2, 3, 4, ...} lub ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Ważne, żeby upewnić się, której definicji używa Twój nauczyciel! Pamiętaj, że ułamki (np. 1/2) czy liczby ujemne (np. -3) nie są liczbami naturalnymi.
Działania na liczbach naturalnych
Na liczbach naturalnych możemy wykonywać różne działania, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Przyjrzyjmy się im po kolei.
Dodawanie
Dodawanie polega na łączeniu dwóch lub więcej liczb. Na przykład, jeśli masz 3 cukierki i dostaniesz jeszcze 2, to razem masz 3 + 2 = 5 cukierków. Proste, prawda? Dodawanie jest przemienne, co oznacza, że kolejność dodawania nie ma znaczenia: 2 + 3 = 3 + 2.
Dodawanie jest również łączne. To znaczy, że dodając więcej niż dwie liczby, możemy zmieniać kolejność wykonywania działań: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). W obu przypadkach wynik będzie taki sam (9). W praktyce oznacza to, że nie musimy się martwić o kolejność dodawania w dłuższych sumach.
Odejmowanie
Odejmowanie to działanie odwrotne do dodawania. Na przykład, jeśli masz 7 klocków i oddasz 3, to zostanie Ci 7 - 3 = 4 klocki. Ważne jest, aby pamiętać, że odejmowanie nie zawsze daje wynik będący liczbą naturalną. Na przykład, 3 - 5 = -2, a -2 nie jest liczbą naturalną. W kontekście liczb naturalnych, odejmowanie możemy wykonywać tylko wtedy, gdy od większej liczby odejmujemy mniejszą lub równą.
Odejmowanie nie jest przemienne. To znaczy, że 5 - 2 to nie to samo co 2 - 5. 5 - 2 = 3, natomiast 2 - 5 = -3 (które nie jest liczbą naturalną). Pamiętaj o tym, żeby zawsze odejmować liczby w odpowiedniej kolejności.
Mnożenie
Mnożenie to skrócony sposób dodawania tej samej liczby wiele razy. Na przykład, 3 x 4 oznacza 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Możemy to sobie wyobrazić jako 3 grupy po 4 elementy. Mnożenie, podobnie jak dodawanie, jest przemienne: 3 x 4 = 4 x 3. Oba działania dadzą wynik 12.
Mnożenie jest również łączne: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4). W obu przypadkach wynik to 24. Podobnie jak w dodawaniu, kolejność wykonywania mnożenia nie ma wpływu na wynik.
Dzielenie
Dzielenie to dzielenie jednej liczby na równe części. Na przykład, jeśli masz 12 ciasteczek i chcesz je podzielić równo między 4 osoby, to każda osoba dostanie 12 : 4 = 3 ciasteczka. Dzielenie, podobnie jak odejmowanie, nie zawsze daje wynik będący liczbą naturalną. Na przykład, 7 : 2 = 3.5, a 3.5 nie jest liczbą naturalną. W kontekście liczb naturalnych, często będziemy mieć do czynienia z dzieleniem z resztą.
Dzielenie nie jest przemienne. 12 : 3 to nie to samo co 3 : 12. 12 : 3 = 4, podczas gdy 3 : 12 = 0.25 (które nie jest liczbą naturalną). Dzielenie również nie jest łączne. (12 : 3) : 2 = 4 : 2 = 2, a 12 : (3 : 2) = 12 : 1.5 = 8.
Dzielniki i wielokrotności
Dzielnik liczby to liczba, która dzieli daną liczbę bez reszty. Na przykład, dzielnikami liczby 12 są: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Sprawdź, czy rozumiesz! 12 : 1 = 12, 12 : 2 = 6, 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2, 12 : 12 = 1. W każdym z tych przypadków wynik dzielenia jest liczbą naturalną i nie ma reszty.
Wielokrotność liczby to liczba, którą otrzymujemy mnożąc daną liczbę przez inną liczbę naturalną. Na przykład, wielokrotnościami liczby 3 są: 3, 6, 9, 12, 15 itd. Po prostu mnożymy 3 przez kolejne liczby naturalne: 3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9, 3 x 4 = 12, 3 x 5 = 15 i tak dalej.
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Przykłady liczb pierwszych to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 itd. Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki. Przykłady liczb złożonych to: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 itd. Liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn dwóch mniejszych liczb naturalnych (większych od 1).
Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną. Ma tylko jeden dzielnik (samą siebie).
Rozkład na czynniki pierwsze
Rozkład na czynniki pierwsze to przedstawienie danej liczby złożonej jako iloczynu liczb pierwszych. Na przykład, rozkład liczby 12 na czynniki pierwsze to 2 x 2 x 3 (lub 2² x 3). Możemy to zrobić krok po kroku: 12 = 2 x 6, a następnie 6 = 2 x 3. Stąd 12 = 2 x 2 x 3.
Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze w sposób jednoznaczny (z dokładnością do kolejności czynników). To bardzo ważne twierdzenie w teorii liczb. Rozkład na czynniki pierwsze jest przydatny do wielu rzeczy, np. do znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) i najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW).
Życzę powodzenia na sprawdzianie! Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza. Rozwiązuj dużo zadań, a na pewno wszystko pójdzie dobrze.
