Sprawdzian z matematyki w drugiej klasie technikum to ważny moment. Obejmuje on wiedzę zdobytą w ciągu roku. Przygotowanie do niego wymaga systematyczności.
Funkcje i ich własności
Funkcja to przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji. Zbiór Y, do którego należą wartości funkcji, nazywamy przeciwdziedziną. Na sprawdzianie często pojawiają się zadania związane z określaniem dziedziny funkcji, znajdowaniem miejsc zerowych oraz badaniem monotoniczności.
Przykład: Mamy funkcję f(x) = √ (x - 2). Aby określić dziedzinę, musimy znaleźć wszystkie x, dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne. Zatem x - 2 ≥ 0, czyli x ≥ 2. Dziedzina funkcji to zbiór [2, +∞).
Miejsce zerowe funkcji to taki argument x, dla którego wartość funkcji f(x) wynosi 0. Aby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujemy równanie f(x) = 0. Na przykład, dla funkcji f(x) = x2 - 4, miejscami zerowymi są x = 2 oraz x = -2, ponieważ 22 - 4 = 0 i (-2)2 - 4 = 0.
Monotoniczność funkcji opisuje, jak zmieniają się wartości funkcji wraz ze wzrostem argumentów. Funkcja może być rosnąca, malejąca, stała lub niemonotoniczna (czyli na różnych przedziałach rosnąca i malejąca). Do badania monotoniczności często wykorzystuje się pochodne (w klasach z rozszerzonym programem).
Funkcja liniowa
Funkcja liniowa ma postać f(x) = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b to wyraz wolny. Współczynnik kierunkowy a decyduje o nachyleniu prostej. Jeżeli a > 0, funkcja jest rosnąca, jeżeli a < 0, funkcja jest malejąca, a jeżeli a = 0, funkcja jest stała. Wyraz wolny b określa punkt przecięcia prostej z osią OY.
Przykład: Mamy funkcję liniową f(x) = 2x + 3. Współczynnik kierunkowy wynosi 2, więc funkcja jest rosnąca. Wyraz wolny wynosi 3, więc prosta przecina oś OY w punkcie (0, 3). Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy znaleźć dwa punkty należące do wykresu i poprowadzić przez nie prostą.
Na sprawdzianie mogą pojawić się zadania dotyczące znajdowania równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, sprawdzania, czy dwie proste są równoległe lub prostopadłe. Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1.
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa ma postać f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b i c są współczynnikami, a a ≠ 0. Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Współczynnik a decyduje o kierunku ramion paraboli: jeśli a > 0, ramiona są skierowane do góry, jeśli a < 0, ramiona są skierowane do dołu.
Delta (Δ), czyli wyróżnik trójmianu kwadratowego, wyraża się wzorem Δ = b2 - 4ac. Delta informuje nas o liczbie miejsc zerowych funkcji kwadratowej: jeśli Δ > 0, funkcja ma dwa miejsca zerowe, jeśli Δ = 0, funkcja ma jedno miejsce zerowe (podwójne), jeśli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne (p, q), gdzie p = -b / (2a) oraz q = -Δ / (4a). Wierzchołek paraboli jest punktem, w którym funkcja kwadratowa osiąga wartość minimalną (jeśli a > 0) lub maksymalną (jeśli a < 0). Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to f(x) = a(x - p)2 + q.
Na sprawdzianie mogą pojawić się zadania dotyczące znajdowania miejsc zerowych funkcji kwadratowej, wierzchołka paraboli, postaci kanonicznej funkcji oraz rozwiązywania nierówności kwadratowych. Nierówności kwadratowe rozwiązuje się, rysując parabolę i odczytując z wykresu przedziały, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.
Geometria analityczna
Geometria analityczna łączy algebrę z geometrią. Umożliwia opisywanie figur geometrycznych za pomocą równań. Na sprawdzianie z geometrii analitycznej mogą pojawić się zadania dotyczące obliczania odległości między punktami, znajdowania równania prostej, okręgu, a także obliczania pola figur geometrycznych.
Odległość między dwoma punktami A(x1, y1) i B(x2, y2) wyraża się wzorem: √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). Równanie okręgu o środku w punkcie (a, b) i promieniu r ma postać: (x - a)2 + (y - b)2 = r2.
Przykład: Mamy punkty A(1, 2) i B(4, 6). Odległość między nimi wynosi: √((4 - 1)2 + (6 - 2)2) = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5. Znajdowanie równania prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez konkretny punkt to częste zadanie sprawdzające zrozumienie geometrii analitycznej.
Trygonometria
Trygonometria zajmuje się badaniem związków między kątami i bokami trójkątów. Na sprawdzianie mogą pojawić się zadania dotyczące obliczania wartości funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens, cotangens) dla różnych kątów, rozwiązywania trójkątów, a także stosowania tożsamości trygonometrycznych.
Funkcje trygonometryczne definiuje się w trójkącie prostokątnym. Sinus kąta to stosunek długości boku przeciwległego do kąta do długości przeciwprostokątnej. Cosinus kąta to stosunek długości boku przyległego do kąta do długości przeciwprostokątnej. Tangens kąta to stosunek długości boku przeciwległego do kąta do długości boku przyległego do kąta. Cotangens kąta to odwrotność tangensa.
Tożsamości trygonometryczne to równości, które są prawdziwe dla wszystkich wartości kątów. Przykłady to: sin2α + cos2α = 1, tanα = sinα / cosα, cotα = cosα / sinα. Znajomość tych tożsamości ułatwia rozwiązywanie wielu zadań.
Rozwiązywanie trójkątów polega na obliczaniu długości boków i miar kątów, gdy znane są niektóre z tych wartości. Do rozwiązywania trójkątów można użyć twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
Wskazówki przed sprawdzianem
Regularne powtarzanie materiału to klucz do sukcesu. Rozwiązuj zadania z podręcznika i zbioru zadań. Przejrzyj notatki z lekcji. Poproś nauczyciela o pomoc, jeśli masz problemy ze zrozumieniem jakiegoś zagadnienia. Postaraj się wyspać przed sprawdzianem. Na sprawdzianie czytaj uważnie polecenia i sprawdzaj swoje odpowiedzi. Powodzenia!
