Cześć! Dzisiaj zajmiemy się rozwiązywaniem równań, a konkretnie wyznaczymy wartość y z równania z dwiema niewiadomymi. Brzmi groźnie? Bez obaw! Rozłożymy to na czynniki pierwsze i wszystko stanie się jasne. Mamy równanie: 10x + 5y = 5x + 20.
Czym jest równanie?
Zacznijmy od podstaw. Równanie to stwierdzenie, że dwa wyrażenia są sobie równe. Wyobraź sobie wagę szalkową. Po obu stronach wagi masz różne przedmioty, ale waga jest w równowadze. Równanie jest jak ta waga – to, co jest po lewej stronie znaku równości (=), musi być równe temu, co jest po prawej stronie.
W naszym przypadku mamy równanie: 10x + 5y = 5x + 20. Po lewej stronie mamy wyrażenie 10x + 5y, a po prawej 5x + 20. Naszym celem jest znalezienie takiej wartości y, która sprawi, że te dwa wyrażenia będą zawsze równe, niezależnie od wartości x.
Niewiadome i współczynniki
W równaniach występują niewiadome, czyli symbole (zwykle litery), których wartości nie znamy. W naszym równaniu mamy dwie niewiadome: x i y. Nazywamy je "niewiadomymi", bo właśnie chcemy je poznać!
Przy niewiadomych często występują współczynniki. Współczynnik to liczba, która stoi przed niewiadomą i jest z nią pomnożona. W naszym równaniu:
- W wyrażeniu 10x, współczynnik przy x wynosi 10.
- W wyrażeniu 5y, współczynnik przy y wynosi 5.
- W wyrażeniu 5x, współczynnik przy x wynosi 5.
Liczby, które nie mają przy sobie niewiadomych (czyli w naszym przypadku 20), nazywamy wyrazami wolnymi lub stałymi.
Izolacja y – krok po kroku
Aby wyznaczyć y, musimy go "odizolować" po jednej stronie równania. Oznacza to, że chcemy doprowadzić do sytuacji, w której po jednej stronie znaku równości mamy tylko y (ewentualnie pomnożone przez jakiś współczynnik), a po drugiej stronie wszystko inne. Zrobimy to krok po kroku:
Krok 1: Przenosimy wyrazy z x na prawą stronę
Chcemy, aby wszystkie wyrazy z x znalazły się po prawej stronie równania. W tym celu odejmiemy 10x od obu stron równania. Pamiętaj, że musimy wykonać tę samą operację po obu stronach, żeby równanie pozostało w równowadze (jak waga!).
Oryginalne równanie: 10x + 5y = 5x + 20
Odejmujemy 10x od obu stron: 10x + 5y - 10x = 5x + 20 - 10x
Upraszczamy: 5y = 5x - 10x + 20
Upraszczamy jeszcze bardziej: 5y = -5x + 20
Krok 2: Dzielimy obie strony przez współczynnik przy y
Teraz chcemy pozbyć się współczynnika 5, który stoi przy y. W tym celu podzielimy obie strony równania przez 5. Znowu – robimy to po obu stronach, żeby zachować równowagę.
Nasze równanie: 5y = -5x + 20
Dzielimy obie strony przez 5: (5y) / 5 = (-5x + 20) / 5
Upraszczamy: y = (-5x / 5) + (20 / 5)
Upraszczamy jeszcze bardziej: y = -x + 4
I gotowe! Wyznaczyliśmy y. Okazało się, że y jest równe -x + 4.
Interpretacja wyniku
Co to właściwie oznacza? Oznacza to, że dla każdej wartości x, możemy obliczyć odpowiadającą jej wartość y, używając wzoru y = -x + 4.
Przykładowo:
- Jeśli x = 0, to y = -0 + 4 = 4.
- Jeśli x = 1, to y = -1 + 4 = 3.
- Jeśli x = 2, to y = -2 + 4 = 2.
- Jeśli x = -1, to y = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5.
Widzimy, że wartość y zależy od wartości x. Mamy nieskończenie wiele par (x, y), które spełniają to równanie. Mówimy, że znaleźliśmy rozwiązanie ogólne równania, czyli wzór, który pozwala nam obliczyć y dla każdego x.
Sprawdzanie rozwiązania
Zawsze warto sprawdzić, czy nasze rozwiązanie jest poprawne. Możemy to zrobić, wstawiając wyliczoną wartość y (czyli -x + 4) do oryginalnego równania i sprawdzając, czy lewa strona równa się prawej stronie.
Oryginalne równanie: 10x + 5y = 5x + 20
Wstawiamy y = -x + 4: 10x + 5*(-x + 4) = 5x + 20
Upraszczamy: 10x - 5x + 20 = 5x + 20
Upraszczamy jeszcze bardziej: 5x + 20 = 5x + 20
Widzimy, że lewa strona równa się prawej stronie. To oznacza, że nasze rozwiązanie y = -x + 4 jest poprawne!
Podsumowanie
Wyznaczanie niewiadomej z równania to umiejętność, która przydaje się nie tylko w matematyce, ale także w wielu innych dziedzinach życia. Pamiętaj o kilku kluczowych zasadach:
- Równanie to stwierdzenie równości dwóch wyrażeń.
- Musisz wykonywać te same operacje po obu stronach równania, żeby zachować równowagę.
- Izoluj niewiadomą, którą chcesz wyznaczyć, przenosząc wszystkie inne wyrazy na drugą stronę równania.
- Zawsze sprawdzaj swoje rozwiązanie!
Mam nadzieję, że ten artykuł pomógł Ci zrozumieć, jak wyznaczyć y z równania 10x + 5y = 5x + 20. Powodzenia w dalszej nauce matematyki!
