Mamy dwa kwadraty. Wyobraź sobie, że są to dwa pola, Pole A i Pole B.
Pole A ma bok długości a. Pole B ma bok długości b.
Chcemy zobaczyć, co się stanie, gdy od pola większego (Pole A) odejmiemy pole mniejsze (Pole B).
Obliczamy pola
Pole kwadratu to bok pomnożony przez bok. Czyli bok do kwadratu.
Pole Pola A to a2 (a razy a).
Pole Pola B to b2 (b razy b).
Różnica pól to a2 - b2. To jest to, co chcemy uprościć.
Różnica kwadratów - wzór
a2 - b2 = (a - b)(a + b). Zapamiętaj to!
To magiczna transformacja. Z odejmowania kwadratów robimy mnożenie dwóch sum.
Jak to zrozumieć wizualnie?
Przekształcenie wizualne
Wyobraź sobie Pole A. Narysuj w nim Pole B w jednym z rogów.
Została nam figura w kształcie litery "L". Ta figura to właśnie a2 - b2.
Teraz wytnijmy tę figurę "L". Spróbujmy ją inaczej ułożyć.
Podzielmy figurę "L" na dwa prostokąty.
Pierwszy prostokąt ma wymiary (a - b) i a. Zobacz, to różnica boków i bok większego kwadratu.
Drugi prostokąt ma wymiary (a - b) i b. Ta sama różnica boków i bok mniejszego kwadratu.
Złączmy te dwa prostokąty. Dokładnie je obróć i przesuń.
Po połączeniu otrzymamy jeden duży prostokąt. Jaki on ma wymiary?
Jeden bok ma długość (a - b). To była ta "wąska" część figury "L".
Drugi bok ma długość (a + b). Zobacz, dodaliśmy do siebie boki Pola A i Pola B.
Pole tego dużego prostokąta to (a - b)(a + b). To dokładnie to, co mieliśmy w naszym wzorze!
Przykłady
Przykład 1:
Oblicz 102 - 52. Bez podnoszenia do kwadratu!
a = 10, b = 5.
Zatem (10 - 5)(10 + 5) = 5 * 15 = 75.
Sprawdźmy: 102 = 100, 52 = 25. 100 - 25 = 75. Zgadza się!
Przykład 2:
Oblicz 72 - 32.
a = 7, b = 3.
(7 - 3)(7 + 3) = 4 * 10 = 40.
Sprawdźmy: 72 = 49, 32 = 9. 49 - 9 = 40. Też się zgadza!
Zastosowania
Różnica kwadratów przydaje się w wielu sytuacjach.
Upraszcza obliczenia. Czasem łatwiej jest pomnożyć niż podnosić do kwadratu i odejmować.
Pomaga rozwiązywać równania. Możemy rozłożyć wyrażenie i znaleźć rozwiązania.
Wyobraź sobie projekt domu. Chcesz obliczyć powierzchnię podłogi po usunięciu kwadratowego pokoju. Użyj różnicy kwadratów!
Podsumowanie
Pamiętaj wzór: a2 - b2 = (a - b)(a + b).
Wyobraź sobie dwa kwadraty i figurę "L", którą można przekształcić w prostokąt.
Ćwicz przykłady. Im więcej ćwiczysz, tym lepiej to zrozumiesz.
Różnica kwadratów to potężne narzędzie. Naucz się go używać!
