Hej! Dzisiaj porozmawiamy o równaniach sprowadzalnych do równań kwadratowych.
Brzmi skomplikowanie? Spokojnie! To prostsze, niż myślisz. Wyobraź sobie, że masz układankę.
Dużą, trochę pogmatwaną układankę. Ale niektóre jej fragmenty wyglądają znajomo, prawda?
Czym są równania kwadratowe?
Zacznijmy od podstaw. Równanie kwadratowe to takie równanie, które da się zapisać w postaci:
ax2 + bx + c = 0
Gdzie a, b i c to liczby. A x to nasza niewiadoma. Szukamy takiej wartości x, która sprawi, że całe równanie będzie równe zero.
Wyobraź sobie to jako wagę. Po jednej stronie masz ax2 + bx + c, a po drugiej masz zero. Musisz znaleźć taki x, żeby waga była w równowadze.
Na przykład: x2 + 5x + 6 = 0. To jest proste równanie kwadratowe.
Co to znaczy "sprowadzalne do kwadratowych"?
A teraz clue programu! Równanie sprowadzalne do kwadratowego to takie, które na pierwszy rzut oka nie wygląda jak równanie kwadratowe.
Ale! Można je przekształcić, żeby wyglądało jak równanie kwadratowe. Trochę jak przebieranie choinki. Na początku wygląda zwyczajnie, ale po ubraniu staje się świąteczna!
To znaczy, że po pewnych operacjach matematycznych, da się je zapisać w postaci a(coś)2 + b(coś) + c = 0. To "coś" to może być cokolwiek zależne od x.
Spójrz na przykład: x4 - 5x2 + 4 = 0.
Na pierwszy rzut oka – nie wygląda jak kwadratowe. Ale! Zauważ, że x4 to po prostu (x2)2.
Teraz możemy podstawić: t = x2.
Nasze równanie zmienia się w: t2 - 5t + 4 = 0.
Patrz! To już jest równanie kwadratowe z niewiadomą t. Ubraliśmy choinkę!
Jak rozwiązywać takie równania?
1. Podstawienie: Znajdź powtarzający się fragment wyrażenia zawierającego x i zastąp go nową zmienną, np. t, u, z.
2. Rozwiąż równanie kwadratowe: Po podstawieniu otrzymasz równanie kwadratowe. Rozwiąż je, korzystając ze wzoru na deltę (Δ = b2 - 4ac) i pierwiastki (x1 = (-b - √Δ) / 2a, x2 = (-b + √Δ) / 2a).
3. Wróć do x: Pamiętaj, że szukamy wartości x, a nie t. Wróć do podstawienia i rozwiąż równanie ze względu na x.
Weźmy nasz przykład: t2 - 5t + 4 = 0.
Delta (Δ) wynosi: (-5)2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.
Pierwiastki t1 i t2 wynoszą: t1 = (5 - √9) / 2 = 1 oraz t2 = (5 + √9) / 2 = 4.
Teraz wracamy do x: x2 = 1 lub x2 = 4.
Zatem x = 1, x = -1, x = 2 lub x = -2.
Mamy cztery rozwiązania! Układanka ułożona!
Przykłady
Przykład 1: (x2 + 1)2 - 4(x2 + 1) + 3 = 0
Podstawienie: t = x2 + 1
Równanie: t2 - 4t + 3 = 0
Delta: Δ = (-4)2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
Pierwiastki: t1 = (4 - √4) / 2 = 1, t2 = (4 + √4) / 2 = 3
Powrót do x: x2 + 1 = 1 lub x2 + 1 = 3
x2 = 0 lub x2 = 2
x = 0, x = √2, x = -√2
Przykład 2: x - 3√x + 2 = 0
Podstawienie: t = √x. Pamiętaj, że wtedy x = t2.
Równanie: t2 - 3t + 2 = 0
Delta: Δ = (-3)2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1
Pierwiastki: t1 = (3 - √1) / 2 = 1, t2 = (3 + √1) / 2 = 2
Powrót do x: √x = 1 lub √x = 2
x = 1 lub x = 4
Dlaczego to działa?
To trochę jak używanie skrótów w programowaniu. Zamiast pisać długi kod, używasz funkcji, która już robi część roboty.
Podstawienie upraszcza równanie, czyniąc je bardziej przejrzystym i łatwiejszym do rozwiązania.
Zapamiętaj!
* Szukaj powtarzających się wyrażeń.
* Użyj podstawienia, żeby uprościć równanie.
* Rozwiąż równanie kwadratowe.
* Wróć do pierwotnej zmiennej.
Ćwicz! Im więcej równań rozwiążesz, tym łatwiej będzie Ci rozpoznawać te, które da się sprowadzić do kwadratowych. Powodzenia!
