Cześć! Dziś zajmiemy się równaniami, które na pierwszy rzut oka wydają się straszne. Ale nie bój się! To tylko równania sprowadzalne do równań kwadratowych.
Pomyśl o tym jak o cebuli. Ma wiele warstw. My musimy te warstwy po kolei zdjąć, aż dotrzemy do znajomego rdzenia – równania kwadratowego.
Równania dwukwadratowe
Zaczynamy od równań dwukwadratowych. Brzmi skomplikowanie? Spokojnie! Wyglądają one tak:
ax4 + bx2 + c = 0
Widzisz tę x4? To ona sprawia kłopot. Ale zaraz ją oswoimy.
Wyobraź sobie, że x2 to nowy przyjaciel, nazwijmy go "t". Zatem:
t = x2
Jeśli x2 to "t", to x4 to po prostu t2! To jak podnoszenie przyjaciela do kwadratu.
Teraz nasze równanie wygląda tak:
at2 + bt + c = 0
Hej! To znajome równanie kwadratowe!
Rozwiązujemy to równanie ze względu na "t". Mamy "t1" i "t2".
Ale pamiętaj! My szukamy "x". Więc musimy wrócić do naszego związku: t = x2.
Zatem:
x2 = t1 oraz x2 = t2
Teraz musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z t1 i t2. Pamiętaj o dwóch rozwiązaniach: dodatnim i ujemnym!
Przykład: x4 - 5x2 + 4 = 0
Niech t = x2. Wtedy mamy:
t2 - 5t + 4 = 0
Liczymy deltę: Δ = (-5)2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9
√Δ = 3
t1 = (5 - 3) / 2 = 1
t2 = (5 + 3) / 2 = 4
Teraz wracamy do "x":
x2 = 1 => x1 = 1, x2 = -1
x2 = 4 => x3 = 2, x4 = -2
Mamy cztery rozwiązania! Jak cztery gałęzie drzewa.
Równania z ułamkami
Kolejny typ to równania z ułamkami, gdzie "x" kryje się w mianowniku. Wygląda to np. tak:
3 / x + 2 / (x + 1) = 1
Najpierw ustalamy dziedzinę! Mianownik nie może być zerem. Zatem x ≠ 0 i x ≠ -1.
Teraz pozbywamy się ułamków. Mnożymy całe równanie przez wspólny mianownik. W tym przypadku to x * (x + 1).
Dostajemy:
3 * (x + 1) + 2 * x = x * (x + 1)
Upraszczamy:
3x + 3 + 2x = x2 + x
x2 - 4x - 3 = 0
Znowu równanie kwadratowe! Liczymy deltę i pierwiastki.
Pamiętaj! Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązania należą do dziedziny. Jeśli nie, to je odrzucamy.
Przykład: 1 / x + 1 / (x - 1) = 2
Dziedzina: x ≠ 0 i x ≠ 1
Mnożymy przez x * (x - 1):
(x - 1) + x = 2x * (x - 1)
2x - 1 = 2x2 - 2x
2x2 - 4x + 1 = 0
Δ = (-4)2 - 4 * 2 * 1 = 16 - 8 = 8
√Δ = 2√2
x1 = (4 - 2√2) / 4 = (2 - √2) / 2
x2 = (4 + 2√2) / 4 = (2 + √2) / 2
Sprawdzamy, czy x1 i x2 należą do dziedziny. Oba należą!
Równania z pierwiastkami
Czasami "x" ukrywa się pod pierwiastkiem. Na przykład:
√(x + 2) = x
Podnosimy obie strony do kwadratu. To jak rozbijanie skorupy, żeby dostać się do środka.
x + 2 = x2
x2 - x - 2 = 0
Znowu mamy równanie kwadratowe. Liczymy deltę i pierwiastki.
Bardzo ważne! Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązania spełniają pierwotne równanie. Podnoszenie do kwadratu mogło wprowadzić "fałszywe" rozwiązania.
Przykład: √(x + 6) = x
Podnosimy do kwadratu:
x + 6 = x2
x2 - x - 6 = 0
Δ = (-1)2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25
√Δ = 5
x1 = (1 - 5) / 2 = -2
x2 = (1 + 5) / 2 = 3
Sprawdzamy:
√( -2 + 6) = √4 = 2 ≠ -2 (x1 odpada)
√(3 + 6) = √9 = 3 (x2 pasuje)
Zatem rozwiązaniem jest tylko x = 3.
Pamiętaj! Kluczem jest umiejętność rozpoznawania wzorców i sprowadzania trudnych równań do postaci równania kwadratowego. Ćwicz, a zobaczysz, że to wcale nie jest takie straszne!
