Rozwiązywanie Układu Równań Za Pomocą Macierzy

Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z rozwiązywania układów równań za pomocą macierzy? Świetnie! Ten przewodnik pomoże Ci to opanować. Zaczynajmy!

Wprowadzenie do Macierzy i Układów Równań

Układ równań to zbiór równań. Na przykład:

2x + y = 5

x - y = 1

Macierz to prostokątna tablica liczb. Liczby te nazywamy elementami macierzy.

Możemy zapisać układ równań w postaci macierzowej. To bardzo przydatne!

Zapis Macierzowy Układu Równań

Mamy układ:

a₁₁x + a₁₂y = b₁

a₂₁x + a₂₂y = b₂

Możemy go zapisać jako równanie macierzowe: Ax = b.

Gdzie:

A to macierz współczynników:

[ a₁₁ a₁₂ ]

[ a₂₁ a₂₂ ]

x to wektor niewiadomych:

[ x ]

[ y ]

b to wektor wyrazów wolnych:

[ b₁ ]

[ b₂ ]

Spróbujmy z przykładem.

Dla układu:

2x + y = 5

x - y = 1

Mamy:

A = [ 2 1 ]

[ 1 -1 ]

x = [ x ]

[ y ]

b = [ 5 ]

[ 1 ]

Metody Rozwiązywania Układów Równań za Pomocą Macierzy

Istnieje kilka metod. Dziś skupimy się na metodzie eliminacji Gaussa i metodzie macierzy odwrotnej.

Eliminacja Gaussa

Eliminacja Gaussa przekształca macierz w macierz trójkątną górną.

To oznacza, że wszystkie elementy poniżej głównej diagonali są zerami.

Robimy to za pomocą operacji elementarnych na wierszach:

1. Zamiana wierszy.
2. Pomnożenie wiersza przez stałą różną od zera.
3. Dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego wiersza.

Przykład:

Mamy macierz rozszerzoną:

[ 2 1 | 5 ]

[ 1 -1 | 1 ]

Chcemy, żeby pod 2 w pierwszej kolumnie było 0.

Zamieniamy wiersze, aby 1 był na górze:

[ 1 -1 | 1 ]

[ 2 1 | 5 ]

Teraz od drugiego wiersza odejmujemy podwojony pierwszy wiersz:

[ 1 -1 | 1 ]

[ 0 3 | 3 ]

Dzielimy drugi wiersz przez 3:

[ 1 -1 | 1 ]

[ 0 1 | 1 ]

Z drugiego wiersza odczytujemy y = 1. Z pierwszego x - y = 1, więc x = 2.

Metoda Macierzy Odwrotnej

Jeśli macierz A jest odwracalna, to Ax = b ma rozwiązanie: x = A^-1b.

Jak znaleźć A^-1?

Rozważamy macierz [A | I], gdzie I to macierz jednostkowa.

Wykonujemy operacje elementarne na wierszach, aż A zamieni się w I.

Wtedy I zamieni się w A^-1.

Przykład:

Mamy A = [ 2 1 ]

[ 1 -1 ]

Macierz [A | I] to:

[ 2 1 | 1 0 ]

[ 1 -1 | 0 1 ]

Zamieniamy wiersze:

[ 1 -1 | 0 1 ]

[ 2 1 | 1 0 ]

Od drugiego wiersza odejmujemy podwojony pierwszy wiersz:

[ 1 -1 | 0 1 ]

[ 0 3 | 1 -2 ]

Dzielimy drugi wiersz przez 3:

[ 1 -1 | 0 1 ]

[ 0 1 | 1/3 -2/3 ]

Do pierwszego wiersza dodajemy drugi wiersz:

[ 1 0 | 1/3 1/3 ]

[ 0 1 | 1/3 -2/3 ]

Czyli:

A^-1 = [ 1/3 1/3 ]

[ 1/3 -2/3 ]

Teraz x = A^-1b.

b = [ 5 ]

[ 1 ]

x = [ 1/3 1/3 ] [ 5 ] = [ (1/3)*5 + (1/3)*1 ] = [ 2 ]

[ 1/3 -2/3 ] [ 1 ] = [ (1/3)*5 + (-2/3)*1] = [ 1 ]

Więc x = 2, y = 1.

Podsumowanie

Pamiętaj:

• Macierz to tablica liczb.
• Układ równań można zapisać w postaci macierzowej Ax = b.
• Eliminacja Gaussa przekształca macierz do postaci trójkątnej górnej.
• Metoda macierzy odwrotnej używa A^-1 do znalezienia rozwiązania x = A^-1b.

Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza. Rozwiąż jak najwięcej przykładów!