Dzisiaj zajmiemy się rozwiązywaniem równań z kreską ułamkową. Na pierwszy rzut oka mogą wydawać się skomplikowane. Rozwiązywanie tych równań jest jednak prostsze niż myślisz. Wykorzystamy kilka podstawowych zasad algebry.
Co to jest równanie z kreską ułamkową?
Równanie z kreską ułamkową to równanie, w którym występuje niewiadoma (najczęściej oznaczana jako x) w mianowniku ułamka. Często mamy kilka ułamków połączonych znakiem równości lub innymi działaniami. Najważniejsze, żeby w którymś z mianowników pojawiła się nasza niewiadoma. Pamiętaj, że mianownik ułamka nie może być równy zero.
Przykładem takiego równania może być: 1/x = 2, albo (x+1)/(x-2) = 3/x. Zauważmy, że niewiadoma znajduje się w mianowniku. To właśnie odróżnia je od zwykłych równań liniowych. Musimy być ostrożni, żeby nie dzielić przez zero.
Krok po kroku: Rozwiązywanie równań z kreską ułamkową
Rozwiązywanie równań z kreską ułamkową wymaga kilku kroków. Są to kroki, które musisz wykonać uważnie. Pokażemy je na przykładach. Zrozumienie tych kroków pomoże Ci rozwiązywać różne typy tych równań.
1. Określenie dziedziny równania
Dziedzina to zbiór wszystkich liczb, które możemy podstawić za x, aby równanie miało sens. Inaczej mówiąc, to wszystkie liczby, dla których mianowniki ułamków nie są równe zero. Musimy wykluczyć te wartości, które zerują mianowniki. Te wartości nazywamy wykluczonymi.
Przykład: W równaniu 1/(x-1) = 2, mianownik to x-1. Musimy znaleźć takie x, dla którego x-1 ≠ 0. Rozwiązując to proste równanie, otrzymujemy x ≠ 1. Zatem dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 1. Zapisujemy to jako: x ∈ ℝ \ {1}.
Inny przykład: W równaniu (x+2)/x = 5/(x-3), mamy dwa mianowniki: x i x-3. Musimy sprawdzić, kiedy x = 0 oraz kiedy x-3 = 0. W pierwszym przypadku x = 0. W drugim przypadku x = 3. Zatem dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 0 i 3. Zapisujemy to jako: x ∈ ℝ \ {0, 3}.
2. Mnożenie obu stron równania przez wspólny mianownik
Teraz pozbędziemy się ułamków. Mnożymy obie strony równania przez wspólny mianownik wszystkich ułamków w równaniu. Wspólny mianownik to wyrażenie, które jest podzielne przez wszystkie mianowniki. Często jest to po prostu iloczyn wszystkich mianowników. Ułatwia to dalsze obliczenia.
Przykład: Mając równanie 1/x = 2/3, wspólnym mianownikiem jest 3x. Mnożymy obie strony przez 3x: (1/x) * 3x = (2/3) * 3x. Po uproszczeniu otrzymujemy: 3 = 2x.
Przykład: Mając równanie (x+1)/(x-2) = 3/x, wspólnym mianownikiem jest x(x-2). Mnożymy obie strony przez x(x-2): [(x+1)/(x-2)] * x(x-2) = (3/x) * x(x-2). Po uproszczeniu otrzymujemy: (x+1)*x = 3*(x-2).
3. Rozwiązanie otrzymanego równania
Po pomnożeniu przez wspólny mianownik, otrzymujemy zwykłe równanie bez ułamków. To równanie może być liniowe, kwadratowe, lub inne. Rozwiązujemy to równanie tak, jak uczyliśmy się wcześniej. Wykorzystujemy standardowe metody rozwiązywania równań algebraicznych.
Przykład: Z równania 3 = 2x, dzielimy obie strony przez 2 i otrzymujemy x = 3/2.
Przykład: Z równania (x+1)*x = 3*(x-2), rozwijamy nawiasy: x2 + x = 3x - 6. Przenosimy wszystko na jedną stronę: x2 + x - 3x + 6 = 0. Upraszczamy: x2 - 2x + 6 = 0. Jest to równanie kwadratowe. Możemy je rozwiązać za pomocą wzoru na deltę lub innych metod.
4. Sprawdzenie, czy rozwiązanie należy do dziedziny
To bardzo ważny krok! Musimy sprawdzić, czy otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny, którą wyznaczyliśmy na początku. Jeżeli rozwiązanie nie należy do dziedziny, to znaczy, że nie jest poprawne. Mówimy wtedy, że to rozwiązanie jest sprzeczne. Takie rozwiązanie odrzucamy.
Przykład: W równaniu 1/(x-1) = 2, otrzymaliśmy dziedzinę x ∈ ℝ \ {1}. Załóżmy, że po rozwiązaniu równania otrzymaliśmy x = 1. Ponieważ 1 nie należy do dziedziny, to równanie nie ma rozwiązań.
Przykład: W równaniu 1/x = 2/3, otrzymaliśmy x = 3/2. Dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 0. Ponieważ 3/2 ≠ 0, to x = 3/2 jest poprawnym rozwiązaniem.
Przykładowe zadanie
Rozwiąż równanie: 2/(x+1) = 1/(x-2).
Krok 1: Określenie dziedziny. Mianowniki to x+1 i x-2. Zatem x ≠ -1 i x ≠ 2. Dziedzina: x ∈ ℝ \ {-1, 2}.
Krok 2: Mnożenie przez wspólny mianownik. Wspólny mianownik to (x+1)(x-2). Mnożymy obie strony: [2/(x+1)]*(x+1)(x-2) = [1/(x-2)]*(x+1)(x-2). Po uproszczeniu: 2*(x-2) = 1*(x+1).
Krok 3: Rozwiązanie równania. Rozwijamy nawiasy: 2x - 4 = x + 1. Przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą: 2x - x = 1 + 4. Upraszczamy: x = 5.
Krok 4: Sprawdzenie dziedziny. Sprawdzamy, czy x = 5 należy do dziedziny. Wiemy, że x ≠ -1 i x ≠ 2. Ponieważ 5 ≠ -1 i 5 ≠ 2, to x = 5 jest poprawnym rozwiązaniem.
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest x = 5.
Podsumowanie
Rozwiązywanie równań z kreską ułamkową wymaga pewnej wprawy. Kluczowe jest określenie dziedziny. Należy pamiętać o mnożeniu obu stron równania przez wspólny mianownik. Trzeba także dokładnie sprawdzać rozwiązania. Ćwiczenie czyni mistrza. Im więcej zadań rozwiążesz, tym łatwiej będzie Ci rozwiązywać te równania.
