Rozwiązywanie nierówności i zaznaczanie zbioru rozwiązań na osi liczbowej to kluczowa umiejętność w matematyce.
Czym jest nierówność?
Nierówność to relacja między dwoma wyrażeniami matematycznymi, która mówi, że nie są one równe.
Używamy symboli: >, <, ≥, ≤.
> oznacza "większe niż".
< oznacza "mniejsze niż".
≥ oznacza "większe lub równe".
≤ oznacza "mniejsze lub równe".
Na przykład: x > 3 oznacza, że x jest większe od 3.
2x + 1 ≤ 7 oznacza, że 2x + 1 jest mniejsze lub równe 7.
Rozwiązywanie nierówności
Rozwiązywanie nierówności polega na znalezieniu wszystkich wartości zmiennej, które spełniają daną nierówność.
Metody rozwiązywania są podobne do rozwiązywania równań, ale trzeba uważać na mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną.
Mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę ujemną zmienia znak nierówności.
Przykład 1: Prosta nierówność
Rozwiąż nierówność: x + 2 > 5.
Odejmij 2 od obu stron: x > 5 - 2.
Wynik: x > 3.
Przykład 2: Nierówność z mnożeniem
Rozwiąż nierówność: 2x ≤ 8.
Podziel obie strony przez 2: x ≤ 8 / 2.
Wynik: x ≤ 4.
Przykład 3: Nierówność z liczbą ujemną
Rozwiąż nierówność: -3x > 9.
Podziel obie strony przez -3 (i zmień znak nierówności!): x < 9 / -3.
Wynik: x < -3.
Przykład 4: Nierówność bardziej złożona
Rozwiąż nierówność: 4x - 5 ≥ 2x + 1.
Odejmij 2x od obu stron: 4x - 2x - 5 ≥ 1.
Uprość: 2x - 5 ≥ 1.
Dodaj 5 do obu stron: 2x ≥ 1 + 5.
Uprość: 2x ≥ 6.
Podziel obie strony przez 2: x ≥ 6 / 2.
Wynik: x ≥ 3.
Zaznaczanie zbioru rozwiązań na osi liczbowej
Oś liczbowa to linia, na której przedstawiamy liczby.
Zaznaczanie zbioru rozwiązań nierówności na osi liczbowej pomaga wizualizować, które liczby spełniają nierówność.
Kroki zaznaczania:
- Narysuj oś liczbową.
- Zaznacz liczbę, która jest granicą rozwiązania (np. 3 w x > 3).
- Użyj kółka otwartego (o) dla nierówności >, <. To oznacza, że liczba graniczna nie należy do zbioru rozwiązań.
- Użyj kółka zamkniętego (•) dla nierówności ≥, ≤. To oznacza, że liczba graniczna należy do zbioru rozwiązań.
- Zaznacz strzałką, w którą stronę znajdują się rozwiązania. W prawo dla > i ≥, w lewo dla < i ≤.
Przykłady:
- x > 3: Rysujemy oś, zaznaczamy 3 kółkiem otwartym i rysujemy strzałkę w prawo.
- x ≤ 4: Rysujemy oś, zaznaczamy 4 kółkiem zamkniętym i rysujemy strzałkę w lewo.
- x < -3: Rysujemy oś, zaznaczamy -3 kółkiem otwartym i rysujemy strzałkę w lewo.
- x ≥ 3: Rysujemy oś, zaznaczamy 3 kółkiem zamkniętym i rysujemy strzałkę w prawo.
Zastosowania nierówności
Nierówności są używane w wielu dziedzinach matematyki i życia codziennego.
W ekonomii do modelowania ograniczeń budżetowych.
W fizyce do opisywania zakresów wartości zmiennych.
W informatyce do analizy złożoności algorytmów.
W życiu codziennym np. przy określaniu minimalnego wieku do głosowania, maksymalnej wagi bagażu.
Przykład: "Muszę wydać mniej niż 100 zł." - to nierówność.
Przykład: "Muszę mieć co najmniej 18 lat, żeby głosować." - to nierówność.
Podsumowanie
Rozwiązywanie nierówności i zaznaczanie zbioru rozwiązań na osi liczbowej to ważna umiejętność matematyczna.
Pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną.
Używaj kółek otwartych i zamkniętych poprawnie na osi liczbowej.
Nierówności mają wiele zastosowań w różnych dziedzinach.
Ćwicz regularnie, aby doskonalić swoje umiejętności w rozwiązywaniu nierówności.
