Ułamki są podstawową częścią matematyki. Używamy ich na co dzień, od gotowania po mierzenie. Zrozumienie rozszerzania i skracania ułamków jest kluczowe do sprawnego posługiwania się nimi.
Czym są ułamki?
Ułamek to sposób reprezentacji części całości. Składa się z dwóch liczb oddzielonych kreską ułamkową. Liczba na górze to licznik. Liczba na dole to mianownik. Na przykład, w ułamku 1/2, 1 jest licznikiem, a 2 jest mianownikiem. Oznacza to, że mamy jedną część z dwóch równych części.
Mianownik informuje nas, na ile równych części podzielona jest całość. Licznik informuje nas, ile z tych części bierzemy pod uwagę. Ułamki pozwalają nam precyzyjnie opisywać ilości, które nie są liczbami całkowitymi.
Rozszerzanie ułamków
Rozszerzanie ułamka to proces mnożenia licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. W wyniku rozszerzenia otrzymujemy ułamek równoważny, czyli taki, który reprezentuje tę samą wartość. Kluczowe jest to, aby mnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez tę samą liczbę.
Przykład: Rozszerzmy ułamek 1/2 przez 3. Mnożymy licznik (1) przez 3, otrzymując 3. Mnożymy mianownik (2) przez 3, otrzymując 6. Zatem, 1/2 rozszerzony przez 3 to 3/6. Ułamki 1/2 i 3/6 są równoważne.
Możemy rozszerzyć ułamek przez dowolną liczbę różną od zera. Rozszerzenie przez 2 dałoby nam 2/4, przez 4 dałoby 4/8, i tak dalej. Wszystkie te ułamki są równoważne ułamkowi 1/2.
Dlaczego rozszerzamy ułamki?
Rozszerzanie ułamków jest przydatne, gdy chcemy porównać lub dodać ułamki o różnych mianownikach. Potrzebujemy znaleźć wspólny mianownik, aby móc wykonywać te operacje. Rozszerzanie pozwala nam przekształcić ułamki do postaci z tym wspólnym mianownikiem.
Na przykład, jeśli chcemy dodać 1/2 i 1/4, musimy najpierw rozszerzyć 1/2 do 2/4. Teraz możemy dodać 2/4 + 1/4 = 3/4. Bez rozszerzenia, dodawanie byłoby trudne.
Skracanie ułamków
Skracanie ułamka to proces dzielenia licznika i mianownika przez ich wspólny dzielnik różny od zera. Podobnie jak rozszerzanie, skracanie prowadzi do uzyskania ułamka równoważnego. Szukamy liczby, która dzieli zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty.
Przykład: Skróćmy ułamek 4/8. Zarówno 4, jak i 8 są podzielne przez 4. Dzielimy licznik (4) przez 4, otrzymując 1. Dzielimy mianownik (8) przez 4, otrzymując 2. Zatem, 4/8 skrócony przez 4 to 1/2. Ułamki 4/8 i 1/2 są równoważne.
Jeśli znajdziemy największy wspólny dzielnik (NWD) licznika i mianownika i podzielimy przez niego obie liczby, otrzymamy ułamek w postaci nieskracalnej. Oznacza to, że nie da się go już bardziej skrócić.
Dlaczego skracamy ułamki?
Skracanie ułamków upraszcza obliczenia i prezentuje ułamki w najprostszej możliwej formie. Łatwiej jest operować na mniejszych liczbach. Ułamek w postaci nieskracalnej jest zazwyczaj preferowany w odpowiedziach do zadań.
Na przykład, zamiast pisać 12/18, skracamy go do 2/3. Oba ułamki reprezentują tę samą wartość, ale 2/3 jest prostszy i bardziej zrozumiały. Znajdujemy NWD liczb 12 i 18, którym jest 6, a następnie dzielimy obie liczby przez 6.
Przykłady i ćwiczenia
Przykład 1: Rozszerz ułamek 2/5 przez 4.
Rozwiązanie: Mnożymy licznik (2) przez 4, otrzymując 8. Mnożymy mianownik (5) przez 4, otrzymując 20. Zatem, 2/5 rozszerzony przez 4 to 8/20.
Przykład 2: Skróć ułamek 9/12.
Rozwiązanie: Zarówno 9, jak i 12 są podzielne przez 3. Dzielimy licznik (9) przez 3, otrzymując 3. Dzielimy mianownik (12) przez 3, otrzymując 4. Zatem, 9/12 skrócony przez 3 to 3/4.
Ćwiczenie 1: Rozszerz ułamek 3/7 przez 2.
Ćwiczenie 2: Skróć ułamek 10/15.
Ćwiczenie 3: Doprowadź ułamek 18/24 do postaci nieskracalnej.
Podsumowanie
Rozszerzanie i skracanie ułamków to kluczowe umiejętności w matematyce. Pozwalają nam na manipulowanie ułamkami bez zmiany ich wartości. Umożliwiają porównywanie, dodawanie, odejmowanie ułamków oraz upraszczanie wyników. Pamiętaj, że zawsze musimy wykonywać tę samą operację na liczniku i mianowniku. Praktyka czyni mistrza, więc ćwicz regularnie, aby stać się biegłym w posługiwaniu się ułamkami!
