Witajcie! Dziś zajmiemy się ułamkami. A konkretnie: rozszerzaniem i skracaniem ułamków. Brzmi skomplikowanie? Spokojnie, zaraz wszystko stanie się jasne!
Czym jest ułamek?
Zacznijmy od podstaw. Co to w ogóle jest ułamek? Wyobraź sobie pizzę. Jeśli podzielisz ją na równe części i weźmiesz jedną z nich, to masz właśnie ułamek pizzy. Ułamek to po prostu część całości. To liczba, która reprezentuje fragment czegoś.
Ułamek zapisujemy za pomocą dwóch liczb oddzielonych kreską. Na przykład: 1/2. Liczba na górze, czyli 1, to licznik. Liczba na dole, czyli 2, to mianownik. Mianownik mówi nam, na ile części podzieliliśmy całość. Licznik mówi nam, ile tych części wzięliśmy.
W ułamku 1/2 mianownik (2) informuje nas, że pizza została podzielona na 2 równe części. Licznik (1) mówi nam, że mamy jedną z tych części. Czyli mamy połowę pizzy. Rozumiesz?
Rozszerzanie ułamków
Teraz przejdźmy do rozszerzania ułamków. Co to znaczy rozszerzyć ułamek? To nic innego, jak pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Ważne jest, żeby obie liczby pomnożyć przez to samo. Inaczej zmienimy wartość ułamka.
Wyobraźmy sobie ułamek 1/2. Chcemy go rozszerzyć przez 2. To znaczy, że licznik (1) mnożymy przez 2 i mianownik (2) mnożymy przez 2. 1 * 2 = 2, a 2 * 2 = 4. Czyli ułamek 1/2 po rozszerzeniu przez 2 to 2/4.
Zauważ, że ułamek 1/2 i 2/4 to tak naprawdę to samo. Nadal mamy połowę czegoś. Wyobraź sobie znowu pizzę. Jeśli podzielisz ją na 2 części i weźmiesz jedną, to masz 1/2 pizzy. Jeśli podzielisz ją na 4 części i weźmiesz dwie, to masz 2/4 pizzy. To jest dokładnie ta sama ilość pizzy!
Rozszerzanie ułamków nie zmienia wartości ułamka, tylko sposób jego zapisu. Robimy to po to, żeby ułatwić sobie różne obliczenia, np. dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
Przykład rozszerzania ułamków
Weźmy ułamek 3/5 i rozszerzmy go przez 3. Mnożymy licznik (3) przez 3: 3 * 3 = 9. Mnożymy mianownik (5) przez 3: 5 * 3 = 15. Zatem ułamek 3/5 rozszerzony przez 3 to 9/15.
Inny przykład: ułamek 2/7 rozszerzamy przez 4. Licznik: 2 * 4 = 8. Mianownik: 7 * 4 = 28. Ułamek 2/7 rozszerzony przez 4 to 8/28.
Spróbujmy teraz z większą liczbą. Ułamek 1/3 rozszerzamy przez 10. Licznik: 1 * 10 = 10. Mianownik: 3 * 10 = 30. Ułamek 1/3 rozszerzony przez 10 to 10/30.
Skracanie ułamków
Teraz zajmiemy się skracaniem ułamków. Skracanie to proces odwrotny do rozszerzania. Polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Ta liczba musi być dzielnikiem zarówno licznika, jak i mianownika. Inaczej nie uda nam się skrócić ułamka.
Wyobraźmy sobie ułamek 4/8. Zarówno 4, jak i 8 dzielą się przez 4. Dzielimy licznik (4) przez 4: 4 / 4 = 1. Dzielimy mianownik (8) przez 4: 8 / 4 = 2. Zatem ułamek 4/8 skrócony przez 4 to 1/2.
Podobnie jak rozszerzanie, skracanie nie zmienia wartości ułamka. Po prostu zapisujemy go w prostszej formie. Ułamek 4/8 i 1/2 to nadal to samo – połowa czegoś.
Celem skracania ułamków jest doprowadzenie ich do postaci nieskracalnej. To znaczy, że licznik i mianownik nie mają już wspólnych dzielników poza 1. Wtedy ułamek jest najprostszy, jak to tylko możliwe.
Przykład skracania ułamków
Weźmy ułamek 6/9. Zarówno 6, jak i 9 dzielą się przez 3. Dzielimy licznik (6) przez 3: 6 / 3 = 2. Dzielimy mianownik (9) przez 3: 9 / 3 = 3. Zatem ułamek 6/9 skrócony przez 3 to 2/3.
Inny przykład: ułamek 10/15. Zarówno 10, jak i 15 dzielą się przez 5. Licznik: 10 / 5 = 2. Mianownik: 15 / 5 = 3. Ułamek 10/15 skrócony przez 5 to 2/3.
Spróbujmy z większymi liczbami. Ułamek 24/36. Zauważ, że obie liczby dzielą się przez 2, 3, 4, 6 i 12. Największy wspólny dzielnik to 12. Dzielimy licznik (24) przez 12: 24 / 12 = 2. Dzielimy mianownik (36) przez 12: 36 / 12 = 3. Ułamek 24/36 skrócony przez 12 to 2/3.
Kiedy używamy rozszerzania i skracania ułamków?
Rozszerzanie i skracanie ułamków jest bardzo przydatne, szczególnie przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków. Żeby dodać lub odjąć ułamki, muszą one mieć ten sam mianownik. Czasami trzeba rozszerzyć jeden lub oba ułamki, żeby to osiągnąć.
Na przykład, chcemy dodać 1/2 + 1/4. Ułamek 1/2 możemy rozszerzyć przez 2, żeby uzyskać 2/4. Wtedy mamy 2/4 + 1/4 = 3/4. Dodawanie stało się proste!
Skracanie ułamków przydaje się, żeby uprościć wynik obliczeń. Na przykład, po dodaniu ułamków otrzymaliśmy wynik 6/8. Możemy go skrócić przez 2, żeby uzyskać 3/4. Wynik jest wtedy bardziej przejrzysty.
Pamiętaj, że rozszerzanie i skracanie ułamków to ważne umiejętności, które przydadzą Ci się w dalszej nauce matematyki. Ćwicz regularnie, a na pewno wszystko zrozumiesz! Powodzenia!
