Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z matematyki? Super! Dzisiaj powtórzymy sobie **równanie okręgu w postaci kanonicznej**. Zobaczysz, to wcale nie jest takie trudne, jak się wydaje!
Co to jest okrąg?
Na początek, przypomnijmy sobie, czym w ogóle jest okrąg. Okrąg to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które są w równej odległości od jednego, ustalonego punktu, zwanego środkiem okręgu.
Ta odległość to oczywiście promień okręgu. Oznaczamy go literą *r*.
Równanie okręgu - po co nam to?
Równanie okręgu to sposób na opisanie tego okręgu za pomocą wzoru. Dzięki niemu, możemy łatwo stwierdzić, czy dany punkt leży na okręgu, wewnątrz niego, czy na zewnątrz.
Postać kanoniczna równania okręgu
Teraz przejdźmy do sedna: **postać kanoniczna równania okręgu**. Wygląda ona tak:
(x - a)² + (y - b)² = r²
Gdzie:
- (a, b) to współrzędne środka okręgu
- r to promień okręgu
- x i y to współrzędne dowolnego punktu na okręgu.
Pamiętaj! To bardzo ważne, żeby zapamiętać ten wzór! To podstawa!
Jak korzystać z postaci kanonicznej?
Spójrzmy na kilka przykładów. To pomoże Ci zrozumieć, jak używać tego wzoru.
Przykład 1: Znając środek i promień
Mamy okrąg o środku w punkcie (2, -3) i promieniu r = 4. Jak będzie wyglądało jego równanie?
Wstawiamy wartości do wzoru:
(x - 2)² + (y - (-3))² = 4²
Upraszczamy:
(x - 2)² + (y + 3)² = 16
I gotowe! To jest równanie naszego okręgu!
Przykład 2: Znając równanie, znajdź środek i promień
Mamy równanie okręgu: (x + 1)² + (y - 5)² = 9. Jaki jest jego środek i promień?
Porównujemy z postacią kanoniczną: (x - a)² + (y - b)² = r²
Widzimy, że (x + 1)² to tak naprawdę (x - (-1))², więc a = -1.
Mamy (y - 5)², więc b = 5.
I r² = 9, więc r = 3 (pierwiastek z 9).
Zatem środek okręgu to (-1, 5), a promień to 3.
Sprawdzanie, czy punkt leży na okręgu
Załóżmy, że mamy równanie okręgu: (x - 1)² + (y - 2)² = 25. Czy punkt (4, 6) leży na tym okręgu?
Wstawiamy współrzędne punktu do równania:
(4 - 1)² + (6 - 2)² = 25
Obliczamy:
3² + 4² = 9 + 16 = 25
Wynik się zgadza! Punkt (4, 6) leży na okręgu.
A gdyby wynik był inny? Na przykład, gdyby wyszło mniej niż 25, punkt leżałby wewnątrz okręgu. A gdyby wyszło więcej niż 25, punkt leżałby na zewnątrz okręgu.
Przekształcanie równania okręgu
Czasami równanie okręgu jest podane w innej formie i trzeba je przekształcić do postaci kanonicznej. Zazwyczaj polega to na uzupełnieniu do pełnych kwadratów.
Np. mamy równanie: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0
Uzupełniamy do pełnych kwadratów:
(x² - 4x) + (y² + 6y) = 3
(x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 3 + 4 + 9
(x - 2)² + (y + 3)² = 16
Teraz mamy postać kanoniczną i możemy łatwo odczytać środek (2, -3) i promień r = 4.
Podsumowanie
Powtórzmy najważniejsze informacje:
- Okrąg to zbiór punktów w równej odległości od środka.
- Środek okręgu to punkt, od którego liczymy odległość.
- Promień okręgu to ta odległość.
- Postać kanoniczna równania okręgu: (x - a)² + (y - b)² = r²
- (a, b) to współrzędne środka.
- r to promień.
- Możemy sprawdzić, czy punkt leży na okręgu, wstawiając jego współrzędne do równania.
Pamiętaj, żeby ćwiczyć! Rozwiąż jak najwięcej zadań z równaniem okręgu w postaci kanonicznej. Im więcej ćwiczysz, tym lepiej to zrozumiesz. Powodzenia na egzaminie!
