Witaj! Przygotuj się do egzaminu z równań i nierówności. Razem damy radę!
Równania – wprowadzenie
Czym jest równanie? To po prostu stwierdzenie, że dwie rzeczy są sobie równe.
Masz znak równości (=). Po obu jego stronach są wyrażenia. Celem jest znalezienie wartości niewiadomej (zwykle oznaczanej jako x). Ta wartość sprawia, że równanie jest prawdziwe.
Rodzaje równań
Mamy różne rodzaje równań. Najprostsze to równania liniowe.
Wyglądają tak: ax + b = 0. a i b to liczby. x to niewiadoma.
Są też równania kwadratowe. Mają postać ax2 + bx + c = 0.
Rozwiązywanie równań liniowych
Jak rozwiązać równanie liniowe? Trzeba przenieść wszystkie wyrazy z x na jedną stronę. Wszystkie liczby na drugą.
Pamiętaj! Zmieniając stronę równania, zmieniasz znak na przeciwny. Z plusa robi się minus, a z minusa plus.
Przykład: 2x + 3 = 7. Odejmij 3 od obu stron: 2x = 4. Podziel obie strony przez 2: x = 2.
Sprawdź! Podstaw x = 2 do równania: 2 * 2 + 3 = 7. Zgadza się!
Rozwiązywanie równań kwadratowych
Równania kwadratowe są trochę trudniejsze. Możemy użyć wyróżnika (Δ).
Wzór na wyróżnik: Δ = b2 - 4ac.
Jeśli Δ > 0, mamy dwa rozwiązania. Jeśli Δ = 0, mamy jedno rozwiązanie. Jeśli Δ < 0, nie ma rozwiązań.
Wzory na rozwiązania (jeśli Δ >= 0): x1 = (-b - √Δ) / 2a, x2 = (-b + √Δ) / 2a.
Przykład: x2 - 5x + 6 = 0. a = 1, b = -5, c = 6. Δ = (-5)2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1. Δ > 0, więc są dwa rozwiązania.
x1 = (5 - √1) / 2 = 2. x2 = (5 + √1) / 2 = 3.
Nierówności – wprowadzenie
Czym jest nierówność? To stwierdzenie, że coś jest większe, mniejsze, większe lub równe, albo mniejsze lub równe od czegoś innego.
Używamy znaków: >, <, >=, <=.
Rozwiązywanie nierówności liniowych
Rozwiązuje się podobnie jak równania. Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę. Liczby na drugą.
Ważne! Mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności.
Przykład: 3x + 2 > 8. Odejmij 2 od obu stron: 3x > 6. Podziel obie strony przez 3: x > 2.
Rozwiązaniem jest zbiór liczb większych od 2. Zapisujemy to: x ∈ (2, ∞).
Nierówności kwadratowe
Nierówności kwadratowe rozwiązuje się trochę inaczej. Najpierw znajdujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
Potem rysujemy parabolę. Sprawdzamy, kiedy parabola jest nad osią x (dla > 0) lub pod osią x (dla < 0).
Przykład: x2 - 4x + 3 < 0. Znajdujemy miejsca zerowe: x1 = 1, x2 = 3. Parabola ma ramiona skierowane do góry. Szukamy, kiedy parabola jest pod osią x. Czyli między miejscami zerowymi.
Rozwiązaniem jest przedział: x ∈ (1, 3).
Zadania tekstowe
Zadania tekstowe sprawiają najwięcej problemów. Trzeba uważnie przeczytać treść. Zrozumieć, co jest dane. Co trzeba znaleźć.
Oznaczamy niewiadome. Układamy równanie lub nierówność. Rozwiązujemy. Sprawdzamy, czy wynik ma sens.
Klucz to ćwiczenia! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej będziesz rozumieć.
Przykład: Suma dwóch liczb wynosi 15. Jedna z nich jest o 3 większa od drugiej. Jakie to liczby?
Oznaczamy: x – pierwsza liczba, x + 3 – druga liczba. Równanie: x + (x + 3) = 15. Rozwiązujemy: 2x + 3 = 15, 2x = 12, x = 6. Pierwsza liczba to 6, druga to 9.
Wskazówki i triki
Sprawdzaj rozwiązania! Podstawiaj wynik do równania lub nierówności. Upewnij się, że wszystko się zgadza.
Uprość wyrażenia przed rozwiązaniem. To ułatwi obliczenia.
Pamiętaj o kolejności wykonywania działań. Najpierw nawiasy, potem potęgi, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie.
Nie stresuj się! Egzamin to tylko sprawdzian wiedzy. Dasz radę!
Podsumowanie
Równania to stwierdzenia, że dwie rzeczy są równe. Nierówności mówią, że coś jest większe, mniejsze lub równe.
Równania liniowe rozwiązujemy przez przenoszenie wyrazów. Równania kwadratowe przez obliczanie wyróżnika.
Nierówności liniowe rozwiązujemy podobnie jak równania. Pamiętamy o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną.
Nierówności kwadratowe rozwiązujemy przez znalezienie miejsc zerowych i narysowanie paraboli.
Ćwicz, ćwicz i jeszcze raz ćwicz! Powodzenia na egzaminie!
