Quiz 5 1 Polynomial Operations Graphing Polynomial Functions

Operacje na wielomianach to podstawowa umiejętność w algebrze.

Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Dodajemy lub odejmujemy wyrazy podobne.

Wyrazy podobne mają tę samą zmienną podniesioną do tej samej potęgi.

Przykład: (3x² + 2x - 1) + (x² - 5x + 4) = 4x² - 3x + 3

Przykład: (5x³ - x + 7) - (2x³ + 3x² - 2) = 3x³ - 3x² - x + 9

Mnożenie wielomianów

Mnożymy każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu.

Pamiętamy o zasadach mnożenia potęg: x^m * xⁿ = x^m+n

Przykład: (x + 2)(x - 3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6

Przykład: (2x - 1)(x² + 4x - 5) = 2x³ + 8x² - 10x - x² - 4x + 5 = 2x³ + 7x² - 14x + 5

Dzielenie wielomianów

Używamy dzielenia pisemnego wielomianów.

Przykład: (x² + 5x + 6) / (x + 2)

x + 3
x + 2 | x² + 5x + 6
-(x² + 2x)
3x + 6
-(3x + 6)
0

Wynik: x + 3

Dzielenie wielomianów może też dać resztę.

Wykresy funkcji wielomianowych

Funkcja wielomianowa ma postać: f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

n to stopień wielomianu.

a_n to współczynnik wiodący.

Wygląd wykresu zależy od stopnia i współczynnika wiodącego.

Stopień parzysty

Jeśli stopień jest parzysty, końce wykresu idą w tę samą stronę.

Jeśli współczynnik wiodący jest dodatni, oba końce idą do góry.

Przykład: f(x) = x²

Jeśli współczynnik wiodący jest ujemny, oba końce idą w dół.

Przykład: f(x) = -x²

Stopień nieparzysty

Jeśli stopień jest nieparzysty, końce wykresu idą w przeciwne strony.

Jeśli współczynnik wiodący jest dodatni, lewy koniec idzie w dół, a prawy w górę.

Przykład: f(x) = x³

Jeśli współczynnik wiodący jest ujemny, lewy koniec idzie w górę, a prawy w dół.

Przykład: f(x) = -x³

Miejsca zerowe

Miejsca zerowe to punkty, w których wykres przecina oś x.

Znajdujemy je rozwiązując równanie f(x) = 0.

Krotność miejsca zerowego mówi nam, jak wykres zachowuje się w tym punkcie.

Jeśli krotność jest nieparzysta, wykres przechodzi przez oś x.

Jeśli krotność jest parzysta, wykres odbija się od osi x.

Przykład: f(x) = (x - 1)²(x + 2). Miejsce zerowe x = 1 ma krotność 2 (odbicie). Miejsce zerowe x = -2 ma krotność 1 (przejście).

Punkty przecięcia z osią Y

Punkt przecięcia z osią Y to punkt, w którym wykres przecina oś y.

Znajdujemy go obliczając f(0).

Przykład: f(x) = x³ + 2x² - x + 5. f(0) = 5. Punkt przecięcia z osią Y to (0, 5).

Zachowanie na krańcach

Określa, jak wykres zachowuje się dla bardzo dużych i bardzo małych wartości x.

Jest to determinowane przez stopień i współczynnik wiodący wielomianu, jak opisano wcześniej.

Kroki do naszkicowania wykresu

1. Znajdź miejsca zerowe i ich krotności.
2. Znajdź punkt przecięcia z osią Y.
3. Określ zachowanie na krańcach.
4. Narysuj wykres, uwzględniając wszystkie te informacje.

Przykład: Narysuj wykres f(x) = x³ - x.

1. Miejsca zerowe: x³ - x = x(x² - 1) = x(x - 1)(x + 1). Miejsca zerowe to x = 0, x = 1, x = -1 (krotność 1).

2. Punkt przecięcia z osią Y: f(0) = 0.

3. Zachowanie na krańcach: Stopień nieparzysty (3), współczynnik wiodący dodatni (1). Lewy koniec idzie w dół, prawy w górę.

4. Narysuj wykres przechodzący przez miejsca zerowe -1, 0, 1 i oś Y w 0, gdzie lewy koniec idzie w dół a prawy w górę.

Wiedza o operacjach na wielomianach i ich wykresach jest kluczowa w wielu dziedzinach, takich jak inżynieria, fizyka i ekonomia.

Umiejętność manipulowania i wizualizacji wielomianów pozwala na modelowanie i rozwiązywanie problemów z życia codziennego.