Hej! Przygotowujesz się do sprawdzianu z geometrii przestrzennej? Super! Rozwiążemy razem zadania z przekątną prostopadłościanu. Pamiętaj, jestem tu, żeby Ci pomóc.
Co to jest Prostopadłościan?
Prostopadłościan to bryła, której wszystkie ściany są prostokątami. Wyobraź sobie pudełko. To właśnie prostopadłościan!
Ma on trzy wymiary: długość (a), szerokość (b) i wysokość (c). Wszystkie kąty w prostopadłościanie są proste (90 stopni).
Przekątna Prostopadłościanu - Jak ją Obliczyć?
Przekątna prostopadłościanu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie. Oznaczmy ją jako d.
Do obliczenia długości przekątnej używamy wzoru wynikającego z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego dwukrotnie:
d = √(a² + b² + c²)
Gdzie:
- d – długość przekątnej
- a – długość
- b – szerokość
- c – wysokość
Zapamiętaj ten wzór. Przyda się na pewno!
Przykładowe Zadanie: Przekątna Ma Długość 60
Załóżmy, że przekątna prostopadłościanu ma długość 60. Musimy znaleźć zależności między wymiarami a, b i c.
Czyli wiemy, że:
√(a² + b² + c²) = 60
Podnosimy obie strony do kwadratu:
a² + b² + c² = 3600
To równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Potrzebujemy dodatkowych informacji, żeby konkretnie wyznaczyć a, b i c. Często w zadaniach są podane dodatkowe zależności.
Typowe Zadania i Jak je Rozwiązywać?
Zadanie 1: Znane Dwie Krawędzie
Treść: Długość prostopadłościanu wynosi 20, szerokość 30, a przekątna ma długość 60. Oblicz wysokość.
Rozwiązanie:
Wiemy, że a = 20, b = 30, d = 60. Szukamy c.
Podstawiamy do wzoru:
60 = √(20² + 30² + c²)
60² = 20² + 30² + c²
3600 = 400 + 900 + c²
3600 = 1300 + c²
c² = 2300
c = √2300 ≈ 47.96
Zadanie 2: Zależność Między Krawędziami
Treść: Długość prostopadłościanu jest dwa razy większa od szerokości, a wysokość jest równa szerokości. Przekątna ma długość 60. Oblicz wymiary prostopadłościanu.
Rozwiązanie:
Wiemy, że a = 2b, c = b, d = 60.
Podstawiamy do wzoru:
60 = √((2b)² + b² + b²)
60² = 4b² + b² + b²
3600 = 6b²
b² = 600
b = √600 ≈ 24.49
Zatem a = 2 * 24.49 ≈ 48.98, a c = 24.49
Zadanie 3: Sześcian
Treść: Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego przekątna ma długość 60.
Rozwiązanie:
Sześcian to szczególny przypadek prostopadłościanu, gdzie a = b = c.
Wzór na przekątną upraszcza się do:
d = √(a² + a² + a²) = √(3a²)
60 = √(3a²)
60² = 3a²
3600 = 3a²
a² = 1200
a = √1200 ≈ 34.64
Wskazówki i Porady
- Zawsze rysuj rysunek! Pomaga to zrozumieć zadanie.
- Wypisz dane! Uporządkuj informacje, które masz.
- Pamiętaj o jednostkach! Sprawdź, czy wszystkie wymiary są w tej samej jednostce.
- Sprawdzaj wyniki! Upewnij się, że wynik ma sens (np. długość nie może być ujemna).
Podsumowanie
Omówiliśmy, czym jest prostopadłościan i jak obliczyć jego przekątną. Ważny jest wzór d = √(a² + b² + c²). Rozwiązaliśmy kilka typowych zadań. Pamiętaj o rysowaniu rysunków i sprawdzaniu wyników. Powodzenia na sprawdzianie!
Jeśli masz jakieś pytania, śmiało pytaj! Jestem tu, żeby Ci pomóc. Dasz radę!
