Rozważmy sytuację, w której przekątna prostokąta ma długość 10. Co możemy powiedzieć o tym prostokącie? Jakie informacje możemy wywnioskować? Przyjrzymy się temu krok po kroku.
Definicja Prostokąta i Przekątnej
Zacznijmy od podstaw. Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste (90 stopni). Oznacza to, że przeciwległe boki są równoległe i równe. Przekątna prostokąta to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki.
W każdym prostokącie można narysować dwie przekątne. Te przekątne są równej długości i przecinają się w połowie. To bardzo ważne własności, które ułatwiają rozwiązywanie zadań.
Twierdzenie Pitagorasa
Kluczowym narzędziem do analizy prostokątów jest Twierdzenie Pitagorasa. Mówi ono, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych (boków przylegających do kąta prostego) jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (boku naprzeciw kąta prostego).
Wzór: a2 + b2 = c2, gdzie a i b to długości przyprostokątnych, a c to długość przeciwprostokątnej. Możemy zastosować to twierdzenie do prostokąta, ponieważ przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne.
W naszym przypadku, przekątna o długości 10 staje się przeciwprostokątną każdego z tych trójkątów. Boki prostokąta stanowią przyprostokątne.
Związek Między Bokami a Przekątną
Niech a i b oznaczają długości boków prostokąta. Wtedy, zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa, zachodzi równość: a2 + b2 = 102, czyli a2 + b2 = 100.
To równanie daje nam związek między długościami boków prostokąta, gdy znamy długość przekątnej. Należy pamiętać, że istnieje wiele par liczb a i b, które spełniają to równanie.
Na przykład, jeśli a = 6, to 62 + b2 = 100, czyli 36 + b2 = 100. Stąd b2 = 64, więc b = 8. Mamy zatem prostokąt o bokach 6 i 8.
Przykłady i Obliczenia
Rozważmy kilka przykładów, aby lepiej zrozumieć związek między bokami prostokąta a jego przekątną o długości 10:
- Jeśli a = 5, to 52 + b2 = 100, czyli 25 + b2 = 100. Stąd b2 = 75, więc b = √75 = 5√3.
- Jeśli a = 7, to 72 + b2 = 100, czyli 49 + b2 = 100. Stąd b2 = 51, więc b = √51.
- Jeśli a = 10, to 102 + b2 = 100, czyli 100 + b2 = 100. Stąd b2 = 0, więc b = 0. W takim przypadku mamy do czynienia z odcinkiem, a nie z prostokątem (długość jednego z boków wynosi 0).
Widzimy, że dla każdej wartości a (mniejszej lub równej 10) możemy obliczyć wartość b, tak aby spełnione było równanie a2 + b2 = 100.
Specjalny Przypadek: Kwadrat
Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta, w którym wszystkie boki są równe. Jeśli prostokąt o przekątnej 10 jest kwadratem, to a = b. Zatem a2 + a2 = 100, czyli 2a2 = 100.
Dzieląc obie strony przez 2, otrzymujemy a2 = 50. Stąd a = √50 = 5√2. Zatem kwadrat o przekątnej 10 ma boki o długości 5√2.
Praktyczne Zastosowania
Związek między bokami prostokąta a przekątną ma wiele praktycznych zastosowań. Na przykład, w budownictwie, przy sprawdzaniu czy róg pomieszczenia jest prosty (90 stopni). Mierzy się długości boków i przekątną, a następnie sprawdza, czy zachodzi Twierdzenie Pitagorasa.
Innym zastosowaniem jest obliczanie wymiarów ekranów telewizorów i monitorów. Przekątna ekranu jest często podawana jako jego rozmiar, a stosunek boków (np. 16:9) pozwala obliczyć długości boków.
Podsumowanie
Znając długość przekątnej prostokąta (w naszym przypadku 10), możemy określić związek między długościami jego boków za pomocą Twierdzenia Pitagorasa. Istnieje nieskończenie wiele prostokątów, które mają przekątną o długości 10, różniących się długościami boków. Kwadrat jest szczególnym przypadkiem, gdzie wszystkie boki są równe. Zrozumienie tych zależności jest kluczowe w rozwiązywaniu problemów geometrycznych i ma praktyczne zastosowania w różnych dziedzinach.
