Hej! Dzisiaj zajmiemy się czymś, co nazywa się zapisywanie wyrażeń w postaci jednej potęgi. Brzmi groźnie? Spokojnie, rozłożymy to na czynniki pierwsze i zobaczysz, że to wcale nie jest takie trudne. Przygotuj się na małą podróż po świecie liczb i ich potęg!
Czym jest potęga?
Zacznijmy od podstaw. Potęga to nic innego jak skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez samą siebie. Wyobraź sobie, że masz sześcian. Jego objętość obliczasz mnożąc długość boku razy szerokość razy wysokość. Jeśli wszystkie boki mają długość 2, to liczymy 2 * 2 * 2. To właśnie jest potęga!
Zapisujemy to jako 23. Ta mała trójka u góry (3) to wykładnik potęgi. Mówi nam, ile razy podstawa potęgi (czyli w naszym przypadku 2) ma być pomnożona przez samą siebie. Tak więc 23 = 2 * 2 * 2 = 8.
Inny przykład: 52. Podstawa to 5, wykładnik to 2. Oznacza to 5 * 5 = 25. Pamiętaj, że potęga dotyczy tylko podstawy, która jest bezpośrednio przed nią. Dlatego istotne są nawiasy, o czym powiemy później.
Reguły potęg: Mnożenie potęg o tej samej podstawie
Teraz przechodzimy do sedna, czyli jak zapisywać wyrażenia w postaci jednej potęgi. Pierwsza i najważniejsza zasada dotyczy mnożenia potęg o tej samej podstawie. Wyobraź sobie, że masz 22 * 23.
Zgodnie z definicją potęgi, 22 to 2 * 2, a 23 to 2 * 2 * 2. Zatem całe wyrażenie to (2 * 2) * (2 * 2 * 2). Ile to jest dwójek pomnożonych przez siebie? Pięć! Możemy to zapisać jako 25.
Zauważ prostą zależność: 22 * 23 = 22+3 = 25. Kiedy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki! To jest kluczowa zasada, którą musisz zapamiętać. am * an = am+n
Przykład: 34 * 31 = 34+1 = 35. Pamiętaj, że jeśli nie widzisz wykładnika, to tak jakby tam była jedynka (31 = 3). Wykładnika 1 nie zapisujemy.
Reguły potęg: Dzielenie potęg o tej samej podstawie
Następna zasada dotyczy dzielenia potęg o tej samej podstawie. Załóżmy, że mamy 25 / 22. Zgodnie z definicją, to jest (2 * 2 * 2 * 2 * 2) / (2 * 2).
Możemy skrócić dwa razy dwójki z licznika i mianownika. Zostaje nam 2 * 2 * 2, czyli 23. Znowu widzimy prostą zależność: 25 / 22 = 25-2 = 23.
Kiedy dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki! am / an = am-n. To bardzo ważna zasada.
Przykład: 57 / 53 = 57-3 = 54. Inny przykład: 1010 / 102 = 108.
Reguły potęg: Potęgowanie potęgi
Kolejna zasada to potęgowanie potęgi. Wyobraź sobie (22)3. Oznacza to, że 22 mnożymy przez siebie trzy razy: (22) * (22) * (22).
Zgodnie z pierwszą zasadą (mnożenie potęg o tej samej podstawie), możemy dodać wykładniki: 22+2+2 = 26. Ale spójrz na to inaczej: (22)3 = 22*3 = 26.
Kiedy potęgujemy potęgę, mnożymy wykładniki! (am)n = am*n. Zapamiętaj tę zasadę, bo często się przydaje.
Przykład: (34)2 = 34*2 = 38. Inny przykład: (10-2)3 = 10-2*3 = 10-6. Zwróć uwagę na to, że zasada działa również dla ujemnych wykładników.
Reguły potęg: Potęga iloczynu i ilorazu
Teraz zajmiemy się potęgowaniem iloczynu. Załóżmy, że mamy (2 * 3)2. Oznacza to (2 * 3) * (2 * 3). Możemy to zapisać jako 2 * 2 * 3 * 3, czyli 22 * 32.
Widzimy, że (2 * 3)2 = 22 * 32. Kiedy potęgujemy iloczyn, potęgujemy każdy czynnik oddzielnie! (a * b)n = an * bn
Przykład: (5 * 4)3 = 53 * 43. Pamiętaj, że to działa tylko dla mnożenia (i dzielenia, o czym zaraz powiemy). Nie działa to dla dodawania i odejmowania! (a + b)n ≠ an + bn
Podobnie działa potęgowanie ilorazu. Załóżmy, że mamy (2 / 3)2. Oznacza to (2 / 3) * (2 / 3). Możemy to zapisać jako 22 / 32.
Widzimy, że (2 / 3)2 = 22 / 32. Kiedy potęgujemy iloraz, potęgujemy licznik i mianownik oddzielnie! (a / b)n = an / bn
Przykład: (10 / 2)4 = 104 / 24. Uważaj na nawiasy! Musisz pamiętać, co jest potęgowane.
Potęga z wykładnikiem zerowym i ujemnym
Co się dzieje, kiedy wykładnik jest zerowy? Dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1 (z wyjątkiem 00, które jest nieokreślone). Czyli a0 = 1, gdzie a ≠ 0.
Przykład: 50 = 1, 1000 = 1, (-2)0 = 1. To może wydawać się dziwne, ale wynika to z definicji dzielenia potęg: an / an = an-n = a0. Ale an / an = 1, więc a0 musi być równe 1.
A co z ujemnymi wykładnikami? a-n = 1 / an. Czyli potęga z ujemnym wykładnikiem to odwrotność potęgi z wykładnikiem dodatnim.
Przykład: 2-1 = 1 / 21 = 1/2. Inny przykład: 3-2 = 1 / 32 = 1/9. Ujemne wykładniki często pojawiają się w fizyce i chemii, więc warto je znać.
Przykłady i zadania
Teraz kilka przykładów, żeby utrwalić wiedzę:
- Zapisz w postaci jednej potęgi: 23 * 25 * 2-2. Rozwiązanie: 23+5-2 = 26.
- Zapisz w postaci jednej potęgi: (32)4 / 33. Rozwiązanie: 32*4 / 33 = 38 / 33 = 38-3 = 35.
- Zapisz w postaci jednej potęgi: (5 * 2)2 / 50. Rozwiązanie: 52 * 22 / 1 = 52 * 22. W tym przypadku nie da się zapisać tego jako jednej potęgi, ponieważ podstawy są różne. Można to obliczyć: 25 * 4 = 100 = 102, ale nie upraszczamy do jednej potęgi o podstawie 5 lub 2.
Spróbuj rozwiązać te zadania samodzielnie:
- 42 * 43 = ?
- (25)2 = ?
- 107 / 104 = ?
- (3 * 5)2 = ?
- 7-1 = ?
Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest praktyka. Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz reguły potęg. Nie bój się popełniać błędów – każdy się na nich uczy! Powodzenia!
